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概率论与数理统计
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2026-07-05 21:12
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## 正态分布知识回顾 在密度函数里,我们又一个基础知识,即密度函数下面围成的曲面面积代表事件发生的概率。 {width=300px} 比如上图表示在$P(X \le 1)=0.84131$ 时发生的概率是84.13%(见下表)。 {width=600px} > 上面是通过事件找概率,想象一下,有时候我们会说,本次考试里,90%的学生分数超过85分,这种情况就是我们系统通过概率找事件,这个事件就是分位点。比如我们对某一次考试问:90%的学生分数超过多少分?这就是知道概率,要找分数点,这个分数点,就和分位数类似。 参考下图,右侧阴影面积是$\alpha$,则左侧面积是$1-\alpha$,假设取$\alpha=0.025$,就表示有下面一个疑问: > 在$u_a$取何值是,$P \le U_a$ 发生的概率大于97.5% {width=400px} ### 双侧置信区间 想象一下,产品包装标准重量是50kg,假设允许的误差是$\pm 2$,这表示质量在 $48kg \sim 52kg$ 之间都是合格的 (言外之意是 $(-\infty,2)$ 和 $(2, +\infty)$ 都是不合格的),因此,从正态分布表里看,其实我们要求的是如下面积。 {width=400px} > 把上面这段意思转换为数学语言就是:参考下图,我要求下图空白的面积是95%,因此,则阴影的面积就是5%,因为左右对称性,因此,我们找的分位点是 5%除以2,就是0.025。通过查上面的表,可以发现这个值是 $1.96$ .  把上面这个意思转换为下图就是:当$ \hat{\mu}=\mu \pm 1.96$时,可信度是 95% 
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