最后更新: 2025-07-07 09:50 查看: 358 次纠错评论(0) 课件开VIP

伽利略变换与洛伦兹变换

## 伽利略变换

首先，让我们考虑惯性参考系下的情况：惯性参考系：牛顿运动定律成立的参考系，当然，伽利略在提出伽利略变换时并没有惯性参考系的说法，这也很大程度上导致了他提出的变换在应用范围上不够全面。

![图片](/uploads/2025-07/5af730.jpg){width=400px}
 
 在上图中，我们引入了两个惯性参考系，分别时 $S$ 和 $S$＇，其中 $S$＇相对与 $S$ 以 $v$ 的速度水平运动。在 $t =0$ 时刻，两坐标系原点 ${ }^{+}$重合，随后 $S ^{\prime}$ 系水平向右匀速运动。假设空间中存在一点 P ，它在 $S$ 系中的坐标表示为 $(x, y, z)$ ，在 $S^{\prime}$ 系中的坐标表示为 $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ ，下面，我们就要找出两个坐标之间的关系，进而得出在两个参考系下物体的运动情况。

根据图中给出的信息，我们可以很容易的得到两者坐标间的数值关系，也即物体在两个坐标系下所处位置的关系：

$$
\begin{aligned}
& x^{\prime}=x-v t \\
& y^{\prime}=y \\
& z^{\prime}=z
\end{aligned}
$$

根据三者的坐标关系，我们还可以给出物体相对于两个参考系运动速度之间的关系：
根据 $v=\frac{d x}{d t}$ ，我们可以得到物体速度的三个分量之间的关系：

$$
\begin{aligned}
& v_x^{\prime}=v_x-v\left(v_x^{\prime}=\frac{d x^{\prime}}{d t}=\frac{d x}{d t}-v \frac{t}{d t}=v_x-v\right) \\
& v_y^{\prime}=v_y \\
& v_z^{\prime}=v_z
\end{aligned}
$$

同样，对所得的三个速度分量对时间求导 ，可以得到物体相对于两个参考系的加速度均为 0 ，也即

$$
a^{\prime}=a
$$

在惯性参考系下，牛顿定律成立，根据牛顿第二定律 ，我们可以得到物体在两个参考系中的受力情况：

$$
F=F^{\prime}
$$

即：受力与惯性参考系的选择无关。
上面的例子是典型的平面运动 例子，在现实生活中，我们更可能遇到的是物体在三维空间 里三个方向都有移动的情况，类似，我们可以得到物体在两个参考系下的速度关系：
$\bar{v}=\overline{v^{\prime}}+\bar{u}$ ，其中 $u {\text {为其中一参考系相对另一参考系的速度矢量 }}$。
在经典力学范畴内，我们认为空间量度和时间量度是绝对的，无论选取什么参考系，都共用一套时间和空间的量度

上面对物体在两个参考系下位置，速度和加速度的讨论，可以应用于已知两参考系之间相对运动的情况下求解物体在位置参考系的运动，也被称为伽利略变换。

### 伽利略变换存在的问题
让我们来看一个经典的，伽利略变换无法应用的场景（你可以在很多物理书上找到这个例子）：

假设有 $A , B$ 两个人， A 手上拿着一个大球，并将其水平推出使其做水平运动，那么，在 B 看来，从球在 A 手上，到球脱离 A 向自己飞来，发生了什么样的变化？

我们用一张示意图进行分析：

![图片](/uploads/2025-07/e67972.jpg)
 
 
 在球即将脱离 A 的瞬间，该画面会经光速传向 $B , ~ B$ 看到这个画面所用的时间就是 $\Delta t 1=\frac{d}{c}$
A将球抛出的瞬间，假设球具有水平向右，大小为 $v$ 的初速度，那么根据伽利略变换，这个画面传向B的速度将大于光速（这里先不考虑具体的可行性），那么所用的时间就是 $\Delta t 2=\frac{d}{c+v}$

很容易发现，$\Delta t 2<\Delta t 1$ ，也即， B 会先看到球脱离 A ，再看到球在 A 的手上，逻辑上存在问题。在这种情况下，伽利略变换将不再适用。

上面这种情况不能应用伽利略变换的原因，我们可以暂且理解成＂**空间量度和时间量度是绝对的，无论选取什么参考系，都共用一套时间和空间的量度**＂这句话并不是普适的，上面的例子就是这句话不能成立的情况之一，我们不能简单的将两个时间进行比较。

## 洛伦兹变换
这里只是以最简单，最不严谨的方式介绍洛伦兹变换，在很多大学教材和物理竞赛书籍上都可以找到更加严谨的介绍和证明过程

![图片](/uploads/2025-07/811f20.jpg)
 
 假设在 $t=t^{\prime}=0$ 的时刻有一个光子以光速穿过坐标原点
图中的坐标引入了时间 $t$ 作为一个变量，原因我们后面讲到时间的延缓时，会进行详细说明。

按照伽利略变换的变换式，我们应该可以得到 $x^{\prime}=x-v t$  由于我们不知道在这种情境下，伽利略变换是否生效，于是我们在路程变换前引入一个系数 $\gamma$ 
也即：$x^{\prime}=\gamma(x-v t)$
如果我们接出来的结果表明 $\gamma=1$ ，则伽利略变换适用于这种情况，反之则不成立。
同时，我们也可以得到在两个坐标系下光子移动的另外一种表示方式，也即 $x=c t$ ，其中 $c$为光速。

由此，我们可以得到以下方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=\gamma(x-v t) \\
x=\gamma\left(x^{\prime}+v t^{\prime}\right) \\
x^{\prime}=c t^{\prime} \\
x=t
\end{array}\right.
$$

并解出：$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}$ ；
我们可以发现，当物体的运动速度远小于光速时，可以将 $\gamma$ 近似为 1 ，此时伽利略变换是成立的。

> 也就是说，伽利略变换是洛伦兹变换的低速情况。

回到洛伦兹变换，然我们再来看一看类似的，得到的物体在三个方向上的移动情况和时间的变换关系。

得到方程组如下图：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=\frac{x-v t}{\sqrt{1-\beta^2}}=\gamma(x-v t) \\
y^{\prime}=y \\
z^{\prime}=z \\
t^{\prime}=\frac{t-\frac{v}{c^2} x}{\sqrt{1-\beta^2}}=\gamma\left(t-\frac{v}{c^2} x\right)
\end{array} \quad\left(\beta=\frac{v}{c}, \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2 / c^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\right)\right.
$$

以上称为洛伦兹变换的正变换，也就是我们常说的洛伦兹变换。（似乎并不是常说？）
 
注：以上分析，证明，和解释可用于饭桌上装学霸，日常和别人吹牛等任何非物理情境下有正变换就有逆变换，正变换是推到新的位置坐标与原来的位置坐标的关系，而逆变换恰好相反。

类似的，我们得到方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\gamma\left(x^{\prime}+v t^{\prime}\right) \\
y=y^{\prime} \\
z=z^{\prime} \\
t=\gamma\left(t^{\prime}+\frac{v}{c^2} x^{\prime}\right)
\end{array}\right.
$$

以上为洛伦兹变换的逆变换。
最后放一张全家福。

正变换 $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=\gamma(x-v t) \\ y^{\prime}=y \\ z^{\prime}=z \\ t^{\prime}=\gamma\left(t-\frac{v}{c^2} x\right)\end{array}\right.$逆变换 $\left\{\begin{array}{l}x=\gamma\left(x^{\prime}+v t^{\prime}\right) \\ y=y^{\prime} \\ z=z^{\prime} \\ t= \gamma ^{\prime}\left(t^{\prime}+\frac{v}{c^2} x^{\prime}\right)\end{array}\right.$

## 相对运动
物体相对不同参考系的运动, 具有不同的描述.
![图片](/uploads/2024-01/image_20240110879b058.png)

例题 某人骑自行车以速率 $v$ 向东行驶. 现有风以同样的速率由北偏西 $30^{\circ}$ 方向吹来. 问: 人感到风是从那个方向吹来?
![图片](/uploads/2024-01/image_20240110b5ecbd2.png)

解 设人为 $x$, 风为 $a$, 地为 $b$,由相对运动原理得

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110ccad4c9.png)

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\mathrm{ab}}=\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\mathrm{ax}}+\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{\text {xb }} \\
& \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=\overrightarrow{\boldsymbol{v}}^{\prime}+\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_0 \\
& \overrightarrow{\boldsymbol{v}}^{\prime}=\overrightarrow{\boldsymbol{v}}-\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_0
\end{aligned}

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