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振动学
简谐运动的能量
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2024-01-10 15:59
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简谐运动的能量
简谐运动的能量 弹簧振子的动能为 $$ E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} m v^2=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin ^2(\omega t+\varphi) $$ 弹簧的弹性势能 $$ E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} k x^2=\frac{1}{2} k A^2 \cos ^2(\omega t+\varphi) $$ 系统的总机械能为 $$ E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} k A^2=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 $$ 系统机械能守恒 (1)动能和势能的平均值: $$ \begin{aligned} & \bar{E}_{\mathrm{p}}=\frac{1}{T} \int_0^T E_{\mathrm{p}} \mathrm{d} t=\frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} k A^2 \cos ^2(\omega t+\varphi) \mathrm{d} t=\frac{1}{4} k A^2 \\ & \bar{E}_{\mathrm{k}}=\frac{1}{T} \int_0^T E_{\mathrm{k}} \mathrm{d} t=\frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} k A^2 \sin ^2(\omega t+\varphi) \mathrm{d} t=\frac{1}{4} k A^2 \end{aligned} $$ 即 $\bar{E}_{\mathrm{p}}=\bar{E}_{\mathrm{k}}=\frac{1}{4} k A^2=\frac{1}{2} E$ (2)机械能守恒一一简谐运动动力学特征之二; (3)动能和势能的变化其频率为两倍 $\omega$; (4)动能和势能变化位相相反. (5)振动强度: $$ E=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2=\frac{1}{2} k A^2 $$ (6)简谐运动的判据之二: $$ E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} k x^2=\alpha x^2 $$ ![图片](/uploads/2024-01/image_202401106df1c9a.png) 例题 当简谐运动的位移为振幅的一半时, 其动能和势能各占总能量的多少?物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半? 解: 简谐运动的总能量为 $$ E=E_{\mathrm{p}}+E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} k A^2 $$ 当 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A} / \mathbf{2}$ 时: $E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} k x^2=\frac{1}{2} k\left(\frac{A}{2}\right)^2=\frac{1}{4} E$ $$ E_{\mathrm{k}}=E-E_{\mathrm{p}}=\frac{3}{4} E $$ 动能和势能各占总能量的一半时: $$ \frac{1}{2} k x_0^2=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} k A^2 \quad x_0= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} A= \pm 0.707 A $$
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