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动力学方程、单摆、复摆

一、简谐运动的动力学特征

仍以弹簧振子为例作动力学分析, 由胡克定律:

$$
F=-k x
$$

$\boldsymbol{k}$ 一 劲度系数, “一”号表示 $\boldsymbol{F}$ 与 $\boldsymbol{x}$ 方向相反.
在振动过程中, 物体所受到的合外力与其相对于平衡位置的位移成正比而反向 (始终指向平衡位置), 这样的力称为线性恢复力.

![图片](/uploads/2024-01/image_2024011054a4f8f.png)

简谐运动的角频率(固有角频率)为

$$
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}
$$

简谐运动的周期(固有周期)为

$$
T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
$$

弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质 $(k$ 和 $m)$有关, 而与其它因素无关.

## 单摆

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110ff46830.png)

如图, 细线的上端固定, 另一端悬挂一可看作质点, 质量为 $m$的重物, 细线的质量和伸长可忽略不计. 这一振动系统叫做单摆.重物叫做摆球, 细线叫做摆线。
若把摆球从平衡位置略为拉开后放手, 摆球就在坚直平面内来回摆动.
![图片](/uploads/2024-01/image_20240110549997a.png)
![图片](/uploads/2024-01/image_20240110f8ac03d.png)

## 复摆

如图, 质量为 $m$ 的的任意形状的物体, 被支持在无摩擦的水平轴 $\boldsymbol{O}$ 上, 将它拉开一个微小角度 $\theta$ 后释放. 若忽略阻力和摩擦力, 则物体将绕轴 $\boldsymbol{O}$ 作微小的自由摆动. 这样的装置叫做复摆.
![图片](/uploads/2024-01/image_202401102df2a25.png)

![图片](/uploads/2024-01/image_2024011051fda0c.png)
![图片](/uploads/2024-01/image_20240110330a9ed.png)
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