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振动学
受迫振动与共振
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2024-01-10 16:35
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受迫振动与共振
一、受迫振动 振动系统施加一个周期性的外力, 其所发生的振动称为受迫振动. 周期性策动力 $$ F=F_0 \cos (\omega t+\varphi) $$ $\omega$ 为策动力的角频率. 二、受迫振动的运动微分方程 $$ f=-k x \quad f_r=-\gamma V $$ ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110d5607c7.png) 令 $$ \frac{k}{m}=\omega_0^2 \quad \frac{\gamma}{m}=2 \beta \quad \frac{F_0}{m}=f_0 $$ 则 $$ \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} t^2}+2 \beta \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}+\omega_0^2 x=f_0 \cos \omega t $$ 解为 $x=x_1$ (齐次通解) $+x_2$ (非齐次通解) 齐次通解为 $$ x_1=A_0 e^{-\beta t} \cos \left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2} t+\varphi_0\right) \quad\left(\omega_0^2>\beta^2\right) $$ 设非齐次特解为 $$ x_2=A \cos (\omega t+\Delta \varphi) $$ ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110517ffe3.png) ![图片](/uploads/2024-01/image_202401104f81539.png) ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110f860340.png)
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