最后更新: 2025-11-25 18:12 查看: 304 次纠错评论(0) 课件开VIP

Lusin 卢津定理

## 可测函数与连续函数
下面的卢津（Lusin）定理揭示了可测函数与连续函数的深刻联系，说明在某种意义上这两类函数是很接近的，这对我们从比较熟悉的连续函数出发，去深入认识与研究可测函数，很有用处．

**定理3.13**（Lusin 定理）若 $f$ 是在 $E \subset R ^n$ 上几乎处处有限的可测函数，则对于任意的 $\varepsilon>0$ ，存在闭集 $F \subset E$ ，使得 $f$ 在 $F$ 上连续且 $m(E \backslash F)<\varepsilon$ ．

先看一看证朋的思路．先设 $m E<\infty$ ，若 $f$ 为简单函数，只需把它取常数值的各个点集略为缩小，$f$ 就是连续的（在缩小后的闭集上）；若 $f$ 是一般的几乎处处有限的可测函数，则去掉一个测度很少的集合后，它是有界的，从而是简单函数列一致收敛的极限。根据已经证明的简单函数情形，于是在某个比 $E$ 略小的闭集上，成了连续函数列一致收敛的极限，自然就是该点集上的连续函数了．$m E=$ $\infty$ 的情形，可以把 $E$ 先分解为可数个测度有限且互不相交的点集 $E_i(i=1,2$ ， $\cdots$ ）的并，于是 $f$ 在每个比 $E_i$ 略小的闭集 $F_i$ 上连续，如果适当选择 $F_i$ ，就可以得出闭集 $F=\bigcup_{i=1}^{\infty} F_i$ 比 $E$ 略小，而 $f$ 在 $F$ 上连续的结论。按照这个思路，下面分几步来完成定理的证明．

证明 $1^{\circ} f$ 是 $E$ 上的简单函数的情形．
设 $f$ 在 $E$ 的互不相交的子集 $E_1, E_2, \cdots, E_k$ 上分别取值 $c_1, c_2, \cdots, c_k$ ：

$$
f(x)=\sum_{i=1}^k c_i \chi_{E_i}(x), \quad\left(x \in E=\bigcup_{i=1}^k E_i ; E_i \cap E_j=\varnothing, i \neq j\right)
$$

由定理 2.6 ，对于 $\varepsilon>0$ ，每个 $E_i$ 有闭子集 $F_i \subset E_i$ ，使
$$
m\left(E_i \backslash F_i\right)<\varepsilon / k, \quad(i=1,2, \cdots, k)
$$

于是 $f$ 在每个 $F_i$ 取常数值，因而连续．$F_1, F_2, \cdots, F_k$ 又是互不相交的闭集，故由定理1．22知，$f$ 在闭集 $F=\bigcup_{i=1}^k F_i$ 上连续且

$$
m(E-F) \leqslant \sum_{i=1}^k m\left(E_i \backslash F_i\right)<\varepsilon .
$$

$2^{\circ}$ 设 $m E<+\infty, f$ 是 $E$ 上几乎处处有限的可测函数．根据本章习题 7，知存在 $E_1 \subset E, m\left(E \backslash E_1\right)<\frac{\varepsilon}{2}$ ，而 $f(x)$ 在 $E_1$ 有界．应用本章的逼近定理 3.6 ，知存在简单函数列 $\left\{\varphi_k(x)\right\}$ 在 $E_1$ 一致收敛到 $f(x)$ ．由已经证明了的 $1^{\circ}$ ，存在闭集 $F_k \subset E_1$ ，使得 $m\left(E_1 \backslash F_k\right)<\frac{\varepsilon}{2^{k+1}}$ ，而 $\varphi_k$ 在 $F_k$ 连续．
令 $F=\bigcap_{k=1}^{\infty} F_k$ ，则 $F$ 是闭集，$F \subset E_1$ ，且

$$
\begin{gathered}
m\left(E_1 \backslash F\right)=m\left(\left(E_1 \backslash \bigcap_{k=1}^{\infty} F_k\right)\right)=m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(E_1 \backslash F_k\right)\right) \\
\leqslant \sum_{k=1}^{\infty} m\left(E_1 \backslash F_k\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^{k+1}}=\frac{\varepsilon}{2}
\end{gathered}
$$

由于 $\varphi_k$ 在 $F_k$ 连续，$\left\{\varphi_k(x)\right\}$ 在 $E_1$ 一致收敛到 $f(x)$ ，故 $f(x)$ 在 $F$ 连续，而且

$$
m(E \backslash F) \leqslant m\left(E \backslash E_1\right)+m\left(E_1 \backslash F\right)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon .
$$

$3^{\circ}$ $m E=+\infty$ 的情形．
令 $A_k=E \cap\left\{x \in R ^n|k-1 \leqslant|x|<k\}(k=1,2, \cdots)\right.$ ．则所有 $A_k$ 是测度有限的点集且互不相交；故由已证的 $2^{\circ}$ 可知，对每个 $k$ ，存在 $A_k$ 的闭子集 $F_k$ ，使得 $f$ 在 $F_k$ 上连续，$m\left(A_k \backslash F_k\right)<\varepsilon / 2^k(k=1,2, \cdots)$ ．令 $F=\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k$ ，则

$$
m(E \backslash F)=\sum_{k=1}^{\infty} m\left(E_k \backslash F_k\right)<\sum_{k=1}^{\infty} \varepsilon / 2^k=\varepsilon .
$$

若 $x_0 \in F$ ，则对充分小的 $\delta>0$ ，邻域 $B\left(x_0, \delta\right) \cap F_k$ 非空当且仅当 $\left|x_0\right|-\delta<k<$ $\left|x_0\right|+\delta+1$ ，但这样的 $F_k$ 只有有限个，故由于 $\left\{F_k\right\}$ 是互不相交的闭集列，$f$ 在每个 $F_k$ 上连续与定理1．22，$f$ 在 $x_0$ 相对于这几个 $F_k$ 的并集连续，也相对于 $F$ 连续． $\square$
Lusin 定理表明，可测函数可以在一些测度比原定义域略小一点的闭子集上连续，在这个意义上，可测函数与连续函数很接近．对这里的＂连续＂应注意理解，是相对于那个＂略小一些＂的点集．下一定理进一步指出，可测函数与全空间 $R ^n$ 上的连续函数也很接近（同样应注意理解这里＂接近＂的具体含义）．

**定理3.14** 若 $f$ 是可测集 $E \subset R ^n$ 上的可测函数，则对任意正数 $\varepsilon$ ，存在 $R ^n$上的连续函数 $g$ ，使得

$$
m|x \in E| f(x) \neq g(x) \mid<\varepsilon
$$

若 $f(x)$ 还有界：$|f(x)| \leqslant M(x \in E)$ ，则连续函数 $g$ 还可以满足 $|g(x)| \leqslant M(\forall x \in$ $R ^n$ ）．

证明 在 Lusin 定理的基础上，实际上只需证明，任何一个闭集 $F$ 上的连续函数 $f(x)$ 都可延拓成为 $R ^n$ 上的连续函数．

先考察 $|f(x)| \leqslant M(x \in F)$ 的情形。令

$$
\begin{aligned}
& A=\{x \in F \mid M / 3 \leqslant f(x) \leqslant M\} \\
& B=\{x \in F \mid-M / 3<f(x)<M / 3\} \\
& C=\{x \in F \mid-M \leqslant f(x) \leqslant-M / 3\}
\end{aligned}
$$

则因 $f$ 连续，$A$ 与 $C$ 为闭集（根据定理 1.25 的推论 2 ）．作函数
$$
g_1(x)=\left(\frac{M}{3}\right) \frac{d(x, C)-d(x, A)}{d(x, C)+d(x, A)}, \quad\left(x \in R ^x\right),
$$

因 $A$ 与 $C$ 不交，在整个 $R ^n, d(x, A)+d(x, C) \neq 0$ ，且 $d(x, A)$ 与 $d(x, C)$ 连续，故 $g_1(x)$ 在 $R ^n$ 上连续，且

$$
\begin{gathered}
\left|g_1(x)\right| \leqslant M / 3,\left(x \in R ^n\right), \\
\left|f(x)-g_1(x)\right| \leqslant 2 M / 3, \quad(x \in F)
\end{gathered}
$$

对 $f(x)-g_1(x)$ 重复以上方法，作相应的连续函数 $g_2(x)\left(g_2\right.$ 的表示式形式上与 $g_1$ 的上述表示式相同，但其中的 $A, B, C$ 换成按 $f(x)-g_1(x)$ 的大小对 $F$ 作相应划分得到的点集）．则因 $f(x)-g_1(x)$ 的界为 $2 M / 3$ ，故相应有

$$
\begin{gathered}
\left|g_2(x)\right| \leqslant \frac{1}{3} \cdot \frac{2 M}{3}, \quad\left(x \in R ^n\right) \\
\left|f(x)-g_1(x)-g_2(x)\right| \leqslant \frac{2}{3} \cdot \frac{2 M}{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^2 M,(x \in F)
\end{gathered}
$$

如此以往，得到连续函数列 $\left\{g_k(x)\right\}$ 满足

$$
\begin{gathered}
\left|g_k(x)\right| \leqslant \frac{1}{3} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} M, \quad\left(x \in R ^n\right) \\
\left|f(x)-\sum_{i=1}^k g_i(x)\right| \leqslant\left(\frac{2}{3}\right)^k M, \quad(x \in F)
\end{gathered}
$$

由前一式与 Weierstrass $M-$ 判别法知，级数 $\sum_{k=1}^{\infty} g_k(x)$ 在整个 $R ^n$ 上一致收敛，后一式说明在 $F$ 上这个级数又收敛到 $f$ ．因此这个级数的和函数 $g$ 在整个 $R ^n$ 上连续，且 $f(x)=g(x)(x \in F)$ ，而

$$
|g(x)| \leqslant \sum_{k=1}^{\infty}\left|g_k(x)\right| \leqslant \frac{M}{3} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}=M, \quad\left(x \in R ^n\right)
$$

一般情况可先考察 $\arctan f(x)$ ，它是 $E$ 上的有界可测函数，从而在 $R ^n$ 上有连续延拓 $h(x)$ ，因此 $f$ 在 $R ^n$ 上有连续延拓 $\tan h(x)$ 。 $\square$

**定义3.4** 设 $f(x)$ 在 $R ^n$ 的某个集合 $E$ 有意义，称集合

$$
\{x \in E \mid f(x) \neq 0\}
$$

的闭包为 $f$ 的支（撑）集，记为 $\operatorname{supp} f$ ，即

$$
\operatorname{supp} f=\overline{\{x \in E \mid f(x) \neq 0\}}
$$

若 $f$ 的支集是 $R ^n$ 的有界闭集，则称 $f$ 是具有**紧支集**的．
**推论** 设 $f$ 在 $E \subset R ^n$ 可测，$E$ 有界，则对任意 $\varepsilon>0$ ，存在具有紧支集的连续函数 $g$ ，使得

$$
m\{x \in E \mid f(x) \neq g(x)\}<\varepsilon
$$

证明 由定理 3．14，知存在 $R ^n$ 的连续函数 $g(x)$ ，使得
$$
m\{x \in E \mid f(x) \neq g(x)\}<\varepsilon
$$

由于 $E$ 有界，设 $E \subset B(0, k)$ ，后者表示以原点为中心 $k$ 为半径的球．令

$$
\varphi(x)= \begin{cases}1, & \text { 当 }|x| \leqslant k, \\ 2-\frac{|x|}{k}, & \text { 当 } k<|x| \leqslant 2 k, \\ 0, & \text { 当 } 2 k<|x| .\end{cases}
$$

易见 $\varphi(x)$ 是 $R ^n$ 的具有紧支集的连续函数．用 $g(x) \varphi(x)$ 代替前面的 $g(x)$ ，便证得推论的结论． $\square$
定理 3.14 表明，一个可测函数，只需在小范围改变函数值，就可以延拓成全空间上的连续函数．而对后者可以应用更多的分析工具和方法，因而这个定理也是很有用的。

英国著名数学家李特尔伍德（Littlewood）将可测集和可测函数的基本性质概括成三条基本原则，可以作为关于点集与函数的可测性的简单总结．Little－ wood 的三原则是：每个（可测）集近于区间的有限并；每个（可测）函数近于连续函数；每个收敛的（可测）函数序列近于一致收敛。对这三原则要注意正确理解．第一条原则可理解为：若 $E \subset R ^1$ 且 $m E<\infty$ ，则对任意 $\varepsilon>0$ ，存在有限个开区间的并集 $G$ ，使得 $m(E \Delta G)=m(E \backslash G)+m(G \backslash E)<\varepsilon$（＂$\Delta$＂表示对称差）；后两条原则分别相当于 Lusin 定理和 Egorov 定理．

## 理解：卢津定理

> **卢津定理沟通了“可测性”和“连续性”。**

### 1. 定理的直观理解：用“连续”逼近“可测”

卢津定理的核心思想可以概括为：

> 任何一个定义在闭集（通常取为有限区间）上的可测函数，尽管它可能非常不规则（甚至处处不连续），但如果我们愿意**忽略一个测度任意小的集合**，那么在这个闭集的“绝大部分”上，这个函数的行为是**连续**的。

###  一个比喻：布满裂缝的冰面

想象一下，你有一个巨大的湖面（这就是我们的定义域 **E**），湖面上结了一层冰。但这层冰质量不好，布满了各种**裂缝和不连续的地方**（这些就是函数 **f** 不连续的点）。

现在，卢津定理告诉我们：

> 我给你一把神奇的铲子（这就是定理中的 **ϵ**），你可以用这把铲子铲掉湖面上任意小的一部分冰。我敢保证，**在你铲完剩下的那片冰面上（剩下的紧集 **F**），冰面是完整、光滑、连续的**，你可以稳稳地在上面滑冰。

**关键点在于：**
*   **裂缝可以非常多，甚至可以密密麻麻**（这在数学上是可能的）。
*   但只要你的铲子足够小（**ϵ** 足够小），你总能找到一大片完整的、光滑的冰面。
*   你铲掉的面积（**E \ F** 的测度）可以比你要求的还要小。

> 这个定理的惊人之处在于，无论原来的函数多么“差劲”（只要它是可测的），我们都能通过微小的“手术”使其变得“良好”（连续）。

---

### 2. 定理的严格数学表述

卢津定理有几种常见的等价形式，最经典的一种如下：

> **卢津定理**
>
> 设：
> *   $f$ 是定义在**闭集** $F$（通常要求 $m(F) < \infty$）上的**可测函数**，并且是**几乎处处有限**的。
>
> 则对任意 $\delta > 0$，存在一个**闭集** $F_\delta \subset F$，满足：
> 1.  $m(F \setminus F_\delta) < \delta$。（被去掉的集合很小）
> 2.  函数 $f$ 在闭集 $F_\delta$ 上的**限制** $f|_{F_\delta}$ 是**连续**的。

**另一种常见且等价的叙述（定义在整个可测集 $E$ 上）：**

> 设 $f$ 是定义在可测集 $E \subset \mathbb{R}$（且 $m(E) < \infty$）上的可测函数。则对任意 $\delta > 0$，存在一个**连续函数** $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 和一个可测集 $A_\delta \subset E$，使得：
> 1.  $m(E \setminus A_\delta) < \delta$。（即在 $E$ 的一个“大部分”子集 $A_\delta$ 上）
> 2.  对于所有 $x \in A_\delta$，有 $f(x) = g(x)$。（即 $f$ 和连续函数 $g$ 在 $A_\delta$ 上完全一致）

这种形式更直接地体现了“用连续函数逼近可测函数”的思想。

---

### 3. 关键点与注意事项

1.  **定义域的性质**：定理通常要求定义域是闭集（或紧集），或者至少是有限测度集。这保证了我们可以利用闭集的良好性质（如连续函数能延拓到整个空间）。

2.  **“限制连续”与“整体连续”**：定理的结论是 $f$ 在**闭集** $F_\delta$ 上连续。这不同于说 $f$ 在 $F_\delta$ 的每一点连续（那是点连续的定义）。在闭集上连续意味着：如果点列 $\{x_n\} \subset F_\delta$ 且 $x_n \to x_0 \in F_\delta$，则 $f(x_n) \to f(x_0)$。由于 $F_\delta$ 是闭集，极限点不会跑到外面去，所以这个条件是良定义的。

3.  **与连续函数逼近的关系**：卢津定理是**连续函数在可测函数空间中稠密**这一深刻事实的体现。也就是说，任何可测函数都可以被一列连续函数“几乎处处”地逼近。这是积分理论中证明许多重要结论（如积分号下取极限）的基础。

4.  **与叶戈罗夫定理的对比**：
    *   **叶戈罗夫定理**处理的是**一列函数**的收敛性，它通过牺牲一个小集，将“几乎处处收敛”提升为“一致收敛”。
    *   **卢津定理**处理的是**单个函数**本身的性质，它通过牺牲一个小集，将“可测性”提升为“连续性”。
    *   两者都体现了实变函数论的核心哲学：**通过忽略一个测度任意小的“坏”集合，可以在剩余的“好”集合上获得非常理想的性质。**

---

### 4. 一个简单的例子

考虑**狄利克雷函数** $D(x)$，定义在 $[0,1]$ 上：
$$
D(x) = \begin{cases}
1, & \text{如果 } x \in \mathbb{Q} \cap [0,1] \quad (\text{有理数}) \\
0, & \text{如果 } x \in [0,1] \setminus \mathbb{Q} \quad (\text{无理数})
\end{cases}
$$
这个函数在 $[0,1]$ 上**处处不连续**。

*   $D(x)$ 是**可测函数**吗？是的，因为有理数集是可测的（零测集），所以 $D(x)$ 是简单函数，自然是可测的， 具体证明见 [狄利克雷函数可测](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1916)。

现在应用**卢津定理**。取 $\delta = 0.01$。
*   定理断言：我们可以从 $[0,1]$ 中挖掉一个总长度小于 $0.01$ 的集合 $F$，使得 $D(x)$ 在剩下的闭集 $K = [0,1] \setminus F$ 上是连续的。
*   这个 $K$ 怎么取？我们可以这样做：因为有理数是可数的，我们可以把所有有理数点用一系列很小的开区间覆盖起来，并让这些开区间的总长度小于 $0.01$。那么，剩下的集合 $K$ 就是一个主要由无理数构成的闭集（可能不连通，像一块块瑞士奶酪）。
*   在 $K$ 上，$D(x)$ 的函数值是多少？因为 $K$ 中不包含有理数，所以对任意 $x \in K$，$D(x) \equiv 0$。
*   一个恒等于零的常数函数，在任何集合上都是连续的！所以，$D(x)$ 在闭集 $K$ 上的限制确实是一个连续函数。

这个例子极端地展示了卢津定理的威力：一个如此不连续的函数，在经过一个“微小的手术”（去掉一个总长任意小的区间集）后，竟然在其主体部分变成了一个非常规则的（常值）连续函数。

### 现实生活中的例子

假设你正在记录一座城市一天内的**用电负荷曲线**。这条曲线理论上会非常复杂，有无数微小的跳变（比如某个瞬间成千上万户人家同时开关电器）。

*   **这条真实的负荷曲线** = 函数 **f**。它可能在任何微观尺度上都不连续，非常“怪异”，但它是一个可测函数。
*   **卢津定理的结论**：虽然这条真实曲线很复杂，但**我总能画出一条非常平滑的、连续的曲线（一个连续函数 **g**），使得这条平滑曲线和真实曲线在99.9%（甚至99.999%）的时间点上都是完全重合的**。那0.1%不重合的时间点，就是那些发生瞬时跳变的瞬间，我们可以忽略不计。

这就意味着，**对于所有实际应用目的（比如电力调度、宏观分析）来说，我们可以把那个复杂怪异的总负荷，当作一个平滑连续的曲线来处理，而不会引入显著误差。**

### 总结

卢津定理的意义在于：

*   **理论价值**：它彻底划清了“可测函数”和“连续函数”的界限。可测函数并不比连续函数“多”很多，它们本质上就是“几乎连续”的函数。这为用连续函数工具研究可测函数和勒贝格积分铺平了道路。
*   **实用价值**：它是证明许多重要结论的利器。例如，要证明某个性质对所有可测函数成立，我们可以先证明它对连续函数成立（这通常很容易），然后利用卢津定理说明可测函数可以被连续函数逼近，从而将性质推广到可测函数。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇： Riesz 里斯定理

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)