最后更新: 2025-11-25 20:12 查看: 201 次纠错评论(0) 课件开VIP

Riesz 里斯定理

## Riesz 里斯定理
下面给出依测度收敛与几乎处处收敛的另外一种关系
**定理3.12（里斯（F．Riesz）定理）** 若 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上依测度收敛到 $f$ ，则必有子序列 $\left\{f_{k_i}\right\}$ 在 $E$ 几乎处处收敛到 $f$ ．

要证明这个定理，必须给出几乎处处收敛的一种描述，并且这种描述应与依测度收敛有某种联系．因为只有这样，我们选取子列时才有了依据，只要所选的子列符合这种描述，就自然能达到我们的目的．这让我们想起引理 3.2 ，它给出函数列几乎处处收敛的一个必要条件（在 $m E<\infty$ 的限制之下），就是对任意自然数 $l$ ，

$$
\lim _{j \rightarrow \infty} m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right)=0
$$

人们自然会想，它的逆是否正确？如果正确，则这就是几乎处处收敛的一种描述，并且是与依测度收敛的概念有联系的．仔细分析引理 3.2 的证明，便知它的逆确实成立，即下面的引理。

**引理3.3** 假设 $f, f_k(k=1,2, \cdots)$ 是在 $E$ 上几乎处处有限的可测函数．若对于任意的正整数 $l$ 有

$$
\lim _{j \rightarrow \infty} m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right)=0
$$

则

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x) \text { a. e. } x \in E .
$$

证明 由条件知，对任意 $l$ 存在正整数 $j_l$ ，使得
$$
m\left(\bigcup_{k=j_l}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right)<\infty
$$

因为 $\bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}$ 对 $j$ 来说是渐缩集列，这时取极限与取测度可以交换（定理 2.3 ），故

$$
\begin{aligned}
& m\left(\bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right) \\
= & m\left(\lim _{j \rightarrow \infty} \bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right) \\
= & \lim _{i \rightarrow \infty} m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right)=0 .
\end{aligned}
$$

从而 $m\left(\bigcup_{l=1}^{\infty} \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right)=0$ ．
再应用第一章的例 8 ，知 $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)$ a．e．$x \in E$ ．
回到定理3．12的证明，现在问题化成了，在已知对任意 $l$ ，

$$
m\left(\left\{x \in E\left|\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{l}\right\}\right) \rightarrow 0(\text { 当 } k \rightarrow \infty)\right.
$$

的条件下，能否找到 $k_i$ ，使得

$$
m\left(\bigcup_{i=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_{k_i}(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right) \rightarrow 0 \quad(\text { 当 } j \rightarrow \infty) .
$$

对每个固定的 $l$ ，这显然是可以做到的，因为我们可以取 $k_i$ ，使得

$$
m\left(\left\{x \in E\left|\left|f_{k_i}(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{l}\right\}\right) \leqslant \frac{1}{2^i}\right.
$$

$$
\begin{gathered}
m\left(\bigcup_{i=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_{k_i}(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right) \leqslant \sum_{i=j}^{\infty} \frac{1}{2^i} \\
=\frac{1}{2^{j-1}} \rightarrow 0(\text { 当 } j \rightarrow \infty)
\end{gathered}
$$

问题在于当 $l$ 改变时，相应的 $k_i$ 也在变，而我们要找出的 $k_i$ 应是与 $l$ 无关的．能否找到与 $l$ 无关的 $k_i$ 呢？关键在于把 $l$ 与 $i$ 联系起来，例如用 $\frac{1}{i}$ 代替 $\frac{1}{l}$ ，而这是不要紧的，因为当 $j \rightarrow \infty$ 时，$j \leqslant i<\infty$ ，最终会有 $i$ 大于 $l$ 的．我们把证明写出来．

**定理3．12的证明** 已知对任意 $l$ ，

$$
m\left(\left\{x \in E\left|\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{l}\right\}\right) \rightarrow 0(\text { 当 } k \rightarrow \infty)\right. \text {. }
$$

当 $l=1$ 时，存在 $k_1$ ，使 $m\left(\left\{x \in E\left|\left|f_{k_1}(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{1}\right\}\right) \leqslant \frac{1}{2}\right.$ ；

当 $l=2$ 时，存在 $k_2>k_1$ ，使 $m\left(\left\{x \in E\left|\left|f_{k_2}(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{2}\right\}\right) \leqslant \frac{1}{2^2}, \cdots\right.$归纳地，存在 $k_i>k_{i-1}$ ，使

$$
m\left(\left\{x \in E\left|\left|f_{k_i}(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{i}\right\}\right)<\frac{1}{2^i}\right.
$$

我们要证明 $f_{k_i}(x) \rightarrow f(x)$ a．e．$x \in E($ 当 $i \rightarrow \infty)$ ．根据引理 3.3 ，只要证明对任意 $l$有

$$
m\left(\bigcup_{i=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_{k_i}(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right) \rightarrow 0(\text { 当 } j \rightarrow \infty) \text {. }
$$

事实上，只要 $j>l$ ，则当 $j \leqslant i<\infty$ 时，

$$
\left\{x \in E | | f _ { k _ { i } } ( x ) - f | \geqslant \frac { 1 } { l } \} \subset \left\{x \in E\left|\left|f_{k_i}(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{i}\right\}\right.\right.
$$

从而

$$
\begin{aligned}
& m\left(\bigcup_{i=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_{k_i}(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right) \\
\leqslant & m\left(\bigcup_{i=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_{k_i}(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{i}\right.\right\}\right) \\
\leqslant & \sum_{i=j}^{\infty} m\left(\left\{x \in E| | f_{k_i}(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{i}\right.\right\}\right) \\
\leqslant & \sum_{i=j}^{\infty} \frac{1}{2^i}=\frac{1}{2^{j-1}} \rightarrow 0(\text { 当 } j \rightarrow \infty)
\end{aligned}
$$

定理 3.12 证完．
关于引理 3.2 与 3.3 ，我们想再说明一下．综合这两个引理我们可得，当 $f_k$与 $f$ 在 $E$ 几乎处处有限时，$f_k$ 在 $E$ 几乎处处收敛到 $f$ 的充分必要条件是，对于任意的 $l$ ，

$$
m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right) \rightarrow 0 \text { (当 } j \rightarrow \infty \text { 时). }
$$

但要注意，必要性（引理3．2）必须在条件 $m E<\infty$ 之下才是正确的，而充分性则不需要这个条件．也正是这个原因，在定理 3.9 （与 3.10 ）中，需要加上条件 $m E<\infty$ ，而定理 3.12 则不需要加这个条件．

另外，读者很容易看出，对任意的 $l$ ，

$$
m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right) \rightarrow 0 \text { ( } j \rightarrow \infty \text { 时), }
$$

等价于对任意 $\varepsilon>0$ ，

$$
m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant \varepsilon\right\}\right) \rightarrow 0(j \rightarrow \infty \text { 时 }) \text {. }
$$

## 理解：里斯定理
这个定理是处理**几乎处处收敛**和**依测度收敛**之间关系的重要工具。

Riesz 定理的核心思想是：一种较弱的、整体性的收敛（依测度收敛），必然蕴含了一种较强的、逐点性的收敛（几乎处处收敛）在某个“子序列”上的体现。

要理解Riesz定理，需先明确两个关键前提（收敛性定义），再拆解定理的逻辑、意义和应用——以下结合**可视化思路**和**通俗类比**，帮你彻底吃透：

### 一、先铺垫：两个核心收敛性（定理的“前置知识”）
Riesz定理的本质是“依测度收敛”与“几乎处处收敛”的关系，因此必须先明确这两个收敛的定义（以 Lebesgue 测度为例）：

#### 1. 几乎处处收敛（a.e. 收敛）——“大部分点都收敛”
设 $ f_n(x), f(x) $ 是可测集 $ E $ 上的可测函数，若存在 $ E $ 的一个**零测集** $ Z $（即 $ m(Z)=0 $，“长度/面积/体积为0的集合”），使得对所有 $ x \in E \setminus Z $，都有：
$$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) $$
则称 $ f_n $ 在 $ E $ 上**几乎处处收敛**到 $ f $，记为 $ f_n \xrightarrow{a.e.} f $。

**可视化理解**：
- 把 $ E $ 想象成一条“实数轴上的线段”（长度有限或无限），零测集 $ Z $ 是线段上“零散的点”（比如有限个点、有理数集，这些集合的长度为0）。
- 几乎处处收敛意味着：除了这些“无长度”的点之外，**所有其他点上的函数值都能收敛到 $ f(x) $** ——就像“大部分区域都达标，只有几个‘针眼大’的地方不达标”。

#### 2. 依测度收敛——“不收敛的点越来越少”
设 $ f_n(x), f(x) $ 是可测集 $ E $ 上的可测函数（且 $ |f_n|, |f| < \infty $ a.e.），若对任意 $ \varepsilon > 0 $，都有：
$$ \lim_{n \to \infty} m\left( \{ x \in E \mid |f_n(x) - f(x)| \geq \varepsilon \} \right) = 0 $$
则称 $ f_n $ 在 $ E $ 上**依测度收敛**到 $ f $，记为 $ f_n \xrightarrow{m} f $。

**可视化理解**：
- 对任意小的“误差阈值” $ \varepsilon $（比如 $ \varepsilon = 0.1, 0.001 $），我们观察“函数值偏差超过 $ \varepsilon $ 的点构成的集合”——这个集合的“长度”会随着 $ n $ 增大而趋于0。
- 注意：依测度收敛**不要求每个点都收敛**，只要求“不收敛的点的总量越来越少”（测度趋于0）。比如：函数列可能在“左半段”和“右半段”交替不收敛，但每次不收敛的区间长度都减半，最终测度趋于0，这就是依测度收敛。

###  直观理解：用“排队达标”类比Riesz定理
我们用一个通俗的类比，帮你理解定理的逻辑：

#### 场景设定：
- 把可测集 $ E $ 想象成“一个班级的所有学生”（总人数对应“测度”）。
- 把每个函数 $ f_n(x) $ 想象成“第 $ n $ 次考试中每个学生的得分”，$ f(x) $ 想象成“每个学生的目标得分”（比如满分100）。

#### 两种收敛的类比：
1. 依测度收敛：“每次考试中，得分与目标分偏差超过 $ \varepsilon $（比如5分）的学生人数，越来越少，最终趋于0”——但可能每次都有不同的学生“不达标”，没有一个学生能保证“每次都达标”。
2. 几乎处处收敛：“除了几个‘特殊学生’（零测集），其他所有学生都能保证‘随着考试次数增多，得分越来越接近目标分’”——大部分学生稳定达标，只有少数几个一直不达标，但这几个学生的“总人数”可以忽略（对应零测集）。

#### Riesz定理的类比：
“如果每次考试不达标（偏差超 $ \varepsilon $）的学生人数越来越少（依测度收敛），那么我们一定能从班级中选出一个‘尖子生小组’（子列），这个小组里除了极个别学生（零测集），其他人都能稳定达标（几乎处处收敛到目标分）”——即从“整体达标率提升”中，能筛选出“个体稳定达标”的小组。

###  证明思路（简化版，核心是“子列的构造”）
Riesz定理的证明关键是“如何构造这个几乎处处收敛的子列”，核心思路是“让子列不收敛的点的测度‘快速趋于0’”，具体步骤简化如下：

1. **构造子列**：
   对任意 $ k \in \mathbb{N}^* $，取 $ \varepsilon_k = \frac{1}{k} $（误差阈值越来越小），根据依测度收敛的定义，对每个 $ k $，存在 $ n_k $（满足 $ n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots $，即子列的下标递增），使得：
   $$ m\left( \{ x \mid |f_{n_k}(x) - f(x)| \geq \frac{1}{k} \} \right) < \frac{1}{2^k} $$
   （因为依测度收敛，当 $ n $ 足够大时，不收敛的测度可以小于任意小的数，这里取 $ \frac{1}{2^k} $ 是为了后续级数收敛）。

2. **证明子列几乎处处收敛**：
   记 $ A_k = \{ x \mid |f_{n_k}(x) - f(x)| \geq \frac{1}{k} \} $，则 $ m(A_k) < \frac{1}{2^k} $。考虑“所有 $ A_k $ 的上限集”：
   $$ A = \varlimsup_{k \to \infty} A_k = \bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{k=N}^\infty A_k $$
   上限集 $ A $ 的含义是“无限次属于 $ A_k $ 的点”——即“子列 $ f_{n_k}(x) $ 无限次偏离 $ f(x) $ 至少 $ \frac{1}{k} $ 的点”（也就是子列不收敛到 $ f(x) $ 的点）。

3. **证明 $ m(A) = 0 $**：
   对任意 $ N $，有 $ \bigcup_{k=N}^\infty A_k \supset A $，因此：
   $$ m(A) \leq m\left( \bigcup_{k=N}^\infty A_k \right) \leq \sum_{k=N}^\infty m(A_k) < \sum_{k=N}^\infty \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^{N-1}} $$
   令 $ N \to \infty $，则 $ \frac{1}{2^{N-1}} \to 0 $，故 $ m(A) = 0 $。

4. **结论**：
   子列 $ f_{n_k}(x) $ 在 $ E \setminus A $ 上（几乎处处）收敛到 $ f(x) $，因为对任意 $ x \in E \setminus A $，$ x $ 只属于有限个 $ A_k $，即存在 $ N $，当 $ k > N $ 时，$ |f_{n_k}(x) - f(x)| < \frac{1}{k} \to 0 $。

## 常见误区与注意事项
1. 误区1：“依测度收敛 ⇒ 几乎处处收敛”——错！
   反例：设 $ E = [0,1] $，构造函数列 $ f_n(x) $ 如下：
   - $ n=1 $：$ f_1(x) = 1 $（整个区间）
   - $ n=2 $：$ f_2(x) = 1 $（[0,1/2]），$ f_3(x) = 1 $（[1/2,1]）
   - $ n=4 $：$ f_4(x) = 1 $（[0,1/4]），$ f_5(x) = 1 $（[1/4,2/4]），$ f_6(x) = 1 $（[2/4,3/4]），$ f_7(x) = 1 $（[3/4,1]）
   - ... 第 $ 2^k $ 到 $ 2^{k+1}-1 $ 个函数，分别在 $ [0,1/2^k], [1/2^k, 2/2^k], ..., [2^k-1/2^k, 1] $ 上取1，其余取0。
   这个函数列依测度收敛到0（因为每个“1所在的区间长度”是 $ 1/2^k \to 0 $），但**没有任何一个点 $ x \in [0,1] $ 是收敛到0的**（每个点会被无限次取1，无限次取0）——这说明“依测度收敛”不能推出“整个序列几乎处处收敛”，但Riesz定理告诉我们：能找到一个子列（比如取 $ n=2^k $，即每个“区间分割轮次”的第一个函数），这个子列在几乎处处收敛到0。

2. 误区2：“子列的几乎处处收敛是‘处处收敛’”——错！
   子列的收敛仍然是“几乎处处”，零测集的存在是允许的（实变函数中“零测集上的性质不影响积分、测度等核心概念”）。

3. 注意：有限测度集的特殊性
   若 $ E $ 是**有限测度集**（$ m(E) < \infty $），则“几乎处处收敛 ⇒ 依测度收敛”（这是Egorov定理的推论）。此时Riesz定理的逆命题（部分）成立：几乎处处收敛的序列，其本身依测度收敛，且自身就是“几乎处处收敛的子列”。但无限测度集（如 $ E = \mathbb{R} $）不成立这个逆命题。

###   一个思想实验的例子

假设我们定义一列“移动的脉冲”函数 $f_n$ 在 $[0,1]$ 上：
*   $f_1(x)$ 是在 $[0,1]$ 上为1的脉冲。
*   $f_2(x)$ 是在 $[0, 1/2]$ 上为1的脉冲。
*   $f_3(x)$ 是在 $[1/2, 1]$ 上为1的脉冲。
*   $f_4(x)$ 是在 $[0, 1/3]$ 上为1的脉冲。
*   $f_5(x)$ 是在 $[1/3, 2/3]$ 上为1的脉冲。
*   $f_6(x)$ 是在 $[2/3, 1]$ 上为1的脉冲。
*   ... 以此类推，脉冲变得越来越窄，并扫过整个区间。

**分析：**
*   **依测度收敛吗？** 是的，它依测度收敛于常数函数 $f(x)=0$。因为对于任何 $\epsilon >0$（比如取 $\epsilon=0.5$），使得 $|f_n(x)-0| > \epsilon$ 的点的集合（即脉冲所在的区间）的测度随着 $n$ 增大而趋于0。
*   **几乎处处收敛吗？** **不**。对于区间 $[0,1]$ 上的**任何一个定点** $x$，总会有无限多个脉冲经过它，使得 $f_n(x)=1$，同时也有无限多个时刻脉冲不在它这里，使得 $f_n(x)=0$。所以函数值在0和1之间无限次震荡，不收敛。

**应用里斯定理：**
虽然原函数列不几乎处处收敛，但定理保证存在一个子列是几乎处处收敛于0的。这个子列怎么取？
我们可以取脉冲宽度收缩得“足够快”的子列。例如，取第 $n_k$ 个函数，使得其脉冲的宽度小于 $1/k^2$。那么，这个子列 $\{f_{n_k}\}$ 就几乎处处收敛于0。这是因为，对于某个点 $x$，如果它被这个子列中的脉冲击中了无限多次，那么这些脉冲的宽度之和是收敛的（$\sum 1/k^2 < \infty$），根据Borel-Cantelli引理，这样的点构成一个零测集。在其余几乎所有点上，这个子列的函数值最终会稳定为0。

### 总结：Riesz定理的核心价值
Riesz定理是实变函数中“收敛性理论”的“粘合剂”，它解决了“依测度收敛”（弱收敛）的“不直观”问题，通过“子列”这个桥梁，将其转化为“几乎处处收敛”（强收敛），从而让我们可以用点态收敛的工具来处理测度收敛的问题。

理解的关键是：**不追求整个序列的强收敛，而是通过子列“筛选”出强收敛的部分**——这既是定理的精髓，也是实变函数中“抓主要矛盾”（忽略零测集、聚焦核心性质）的思维体现。

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