最后更新: 2025-11-25 20:12 查看: 137 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

Riesz 里斯定理

## Riesz 里斯定理
下面给出依测度收敛与几乎处处收敛的另外一种关系
**定理3.12（里斯（F．Riesz）定理）** 若 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上依测度收敛到 $f$ ，则必有子序列 $\left\{f_{k_i}\right\}$ 在 $E$ 几乎处处收敛到 $f$ ．

要证明这个定理，必须给出几乎处处收敛的一种描述，并且这种描述应与依测度收敛有某种联系．因为只有这样，我们选取子列时才有了依据，只要所选的子列符合这种描述，就自然能达到我们的目的．这让我们想起引理 3.2 ，它给出函数列几乎处处收敛的一个必要条件（在 $m E<\infty$ 的限制之下），就是对任意自然数 $l$ ，

$$
\lim _{j \rightarrow \infty} m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right)=0
$$

人们自然会想，它的逆是否正确？如果正确，则这就是几乎处处收敛的一种描述，并且是与依测度收敛的概念有联系的．仔细分析引理 3.2 的证明，便知它的逆确实成立，即下面的引理。

**引理3.3** 假设 $f, f_k(k=1,2, \cdots)$ 是在 $E$ 上几乎处处有限的可测函数．若对于任意的正整数 $l$ 有

$$
\lim _{j \rightarrow \infty} m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right)=0
$$

则

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x) \text { a. e. } x \in E .
$$

证明 由条件知，对任意 $l$ 存在正整数 $j_l$ ，使得
$$
m\left(\bigcup_{k=j_l}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right)<\infty
$$

因为 $\bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}$ 对 $j$ 来说是渐缩集列，这时取极限与取测度可以交换（定理 2.3 ），故

$$
\begin{aligned}
& m\left(\bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right) \\
= & m\left(\lim _{j \rightarrow \infty} \bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right) \\
= & \lim _{i \rightarrow \infty} m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right)=0 .
\end{aligned}
$$

从而 $m\left(\bigcup_{l=1}^{\infty} \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right)=0$ ．
再应用第一章的例 8 ，知 $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)$ a．e．$x \in E$ ．
回到定理3．12的证明，现在问题化成了，在已知对任意 $l$ ，

$$
m\left(\left\{x \in E\left|\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{l}\right\}\right) \rightarrow 0(\text { 当 } k \rightarrow \infty)\right.
$$

的条件下，能否找到 $k_i$ ，使得

$$
m\left(\bigcup_{i=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_{k_i}(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right) \rightarrow 0 \quad(\text { 当 } j \rightarrow \infty) .
$$

对每个固定的 $l$ ，这显然是可以做到的，因为我们可以取 $k_i$ ，使得

$$
m\left(\left\{x \in E\left|\left|f_{k_i}(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{l}\right\}\right) \leqslant \frac{1}{2^i}\right.
$$

$$
\begin{gathered}
m\left(\bigcup_{i=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_{k_i}(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\}\right) \leqslant \sum_{i=j}^{\infty} \frac{1}{2^i} \\
=\frac{1}{2^{j-1}} \rightarrow 0(\text { 当 } j \rightarrow \infty)
\end{gathered}
$$

问题在于当 $l$ 改变时，相应的 $k_i$ 也在变，而我们要找出的 $k_i$ 应是与 $l$ 无关的．能否找到与 $l$ 无关的 $k_i$ 呢？关键在于把 $l$ 与 $i$ 联系起来，例如用 $\frac{1}{i}$ 代替 $\frac{1}{l}$ ，而这是不要紧的，因为当 $j \rightarrow \infty$ 时，$j \leqslant i<\infty$ ，最终会有 $i$ 大于 $l$ 的．我们把证明写出来．

**定理3．12的证明** 已知对任意 $l$ ，

$$
m\left(\left\{x \in E\left|\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant \frac{1}{l}\right\}\right) \rightarrow 0(\text { 当 } k \rightarrow \infty)\right. \text {. }
$$

当 $l=1$ 时，存在 $

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