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Levi 列维定理

## 积分的极限定理
这一节讨论的问题是，对于在某种意义下收敛的函数列，它的极限函数的积分与这列函数的积分的极限有什么关系，特别是在什么条件下二者相等，也就是通常说的积分与极限交换次序，或积分号下取极限的问题．积分对积分域的可数可加性，以及函数项级数的逐项积分，实际上也属于这类问题．数学上这类问题很多，但当所出现的积分是 Riemann 积分时，从数学分析知道，对函数列的要求较高，而在 Lebesgue 积分情形，由本节可见，条件则较宽松．这也是 Lebesgue 积分有广泛应用的重要原因．

还是先从非负函数的情形开始．若 $\left\{\varphi_k\right\}$ 是 $E \subset R ^n$ 上的非负简单函数的递增（对 $k$ ）列，那么 $\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)$ 自然有意义并且是 $E$ 上的非负可测函数．于是由 $\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)$ 积分的定义得

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \varphi_k(x) d x=\int_E \lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x) d x
$$

就是说，这种情形下积分与极限可以交换次序，其实它只不过是非负函数积分定义的重新叙述．那么，作一点推广，将其中的＂简单函数列＂换成＂可测函数列＂ （仍保持为递增列），结果会怎样？

**定理 4.12**（列维（Levi）定理）设 $\left\{f_k\right\}$ 是 $E$ 上非负可测函数的递增列，记

$$
f(x)=\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)(x \in E),
$$

则

$$
\int_E f(x) d x=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E f_k(x) d x
$$

证明 由于 $f$ 在 $E$ 上非负可测，所以只需证明，存在 $E$ 上的非负简单函数的递增列 $\left\{\varphi_k\right\}$ ，使得

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)=f(x)(x \in E),
$$

同时又有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \varphi_k(x) d x=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E f_k(x) d x
$$

则由前面的说明，本定理的结论就能成立了．
现在来构造这样的 $\left\{\varphi_k\right\}$ ．由于每个 $f_k$ 是非负可测的，故存在收敛于 $f_k$ 的非负简单函数的递增列 $\left\{\varphi_{k, i} \mid i=1,2 \cdots\right\}$ ，使得

$$
\lim _{i \rightarrow \infty} \int_E \varphi_{k, i}(x) d x=\int_E f_k(x) d x
$$

我们定义

$$
\varphi_k(x)=\max \left(\varphi_{1, k}(x), \varphi_{2, k}(x), \cdots, \varphi_{k, k}(x)\right), \quad(k=1,2 \cdots)
$$

于是，$\left\{\varphi_k\right\}$ 是非负简单函数列，并且对任意 $k$ ，

$$
\begin{aligned}
\varphi_{k+1}(x) & =\max \left(\varphi_{1, k+1}(x), \varphi_{2, k+1}(x), \cdots, \varphi_{k+1, k+1}(x)\right) \\
& \geqslant \max \left(\varphi_{1, k}(x), \varphi_{2, k}(x), \cdots, \varphi_{k+1, k}(x)\right) \\
& \geqslant \max \left(\varphi_{1, k}(x), \varphi_{2, k}(x), \cdots, \varphi_{k, k}(x)\right)=\varphi_k(x), \quad(k=1,2 \cdots)
\end{aligned}
$$

即 $\left\{\varphi_k\right\}$ 是递增的．因而 $\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)(x \in E)$ 及 $\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \varphi_k(x) d x$ 都有意义．又由 $\varphi_k$ 的定义可见，当 $i \leqslant k, i, k=1,2, \cdots$ 时，

$$
\varphi_{i, k}(x) \leqslant \varphi_k(x) \leqslant \max \left(f_1(x), f_2(x), \cdots, f_k(x)\right)=f_k(x)
$$

从而

$$
\int_E \varphi_{i, k}(x) d x \leqslant \int_E \varphi_k(x) d x \leqslant \int_E f_k(x) d x
$$

由此先固定 $i$ ，对 $k$ 取极限，并注意 $\int_E f_i(x) d x=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \varphi_{i, k}(x) d x$ ，故

$$
\begin{gathered}
\int_E f_i(x) d x \leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \varphi_k(x) d x \leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} \int_E f_k(x) d x, \\
(i=1,2, \cdots)
\end{gathered}
$$

再对 $i$ 取极限，就可看出 $\left\{\varphi_k\right\}$ 满足要求．

Levi 定理又称为单调收敛定理，为使其结论成立，假设条件中的＂$f_k$ 非负＂可以放宽（参见本章习题第8题），＂$\left\{f_k\right\}$ 对 $k$ 递增＂可以改为＂$\left\{f_k\right\}$ 对 $k$ 递减＂ （这时 $\left\{f_1-f_k\right\}$ 递增），但总的来说，＂$\left\{f_k\right\}$ 对 $k$ 单调＂这个关键性条件不能缺少．

因为级数的收敛与其部分和序列的收敛等价，下一个定理可以看作 Levi 定理的级数形式．

## 理解 Levi 定理 （也常称为单调收敛定理）

---

### 1. 核心思想

**Levi 定理** 说的是：

> 如果有一列函数$ f_n(x)$ 满足：
> 1. 它们一个比一个大（单调递增）：$ f_1(x) \le f_2(x) \le f_3(x) \le \dots$
> 2. 并且它们的积分值不会“爆炸”（有上界），
>
> 那么，这列函数的极限函数$ f(x)$ 的积分，就等于先取极限再积分：
>$$
> \lim_{n\to\infty} \int f_n(x) dx = \int \lim_{n\to\infty} f_n(x) dx
>$$

---

想到一个小故事：小数四舍五入求和和求和后再四舍五入也不一样。公司财务在计算时，必须精确的分，也就是1亿元和1亿零1分，哪怕差一分，数据对不上，财务都要全部重新算。 因此，在计算金额时就会出现“小数四舍五入求和和求和后再四舍五入也不一样” ，
比如 1.23+1.24
如果四舍五入求和 就是 1.2+1.2=2.4
如果求和四舍五入 就是 1.23+1.24=1.47=1.5

### 2. 一个比喻：**“叠罗汉量身高”**

想象一队人叠罗汉：

-$ f_1(x)$ 是第 1 个人的身高分布。
-$ f_2(x)$ 是前 2 个人叠起来的高度分布（比$ f_1$ 高）。
-$ f_3(x)$ 是前 3 个人叠起来的高度分布（更高）。
- 这样一直增加。

**单调递增**：叠罗汉的高度只会增加或保持不变，不会减少。

---

### 问题：
我们想知道 **最终罗汉堆的稳定总高度**（极限函数）的“平均高度”（积分），能否通过 **每次叠完的平均高度取极限** 来得到。

Levi 定理说：**可以**！

---

### 3. 关键点：为什么需要“积分有上界”？

如果叠罗汉时，每个人的体重（比喻为“函数的值”）太大，可能导致“平均高度”无限增长，最后没有意义。

数学上，如果积分$\int f_n$ 趋于无穷，那么极限函数可能不可积（积分无穷）。但 Levi 定理允许极限函数的积分是无穷，只要$ f_n$ 的积分有上界，那么极限函数就是可积的，并且可交换极限与积分。

更准确地说，Levi 定理的条件是：
$$
\sup_n \int f_n < +\infty
$$
保证极限函数可积。但即使不可积（积分无穷），等式两边同时无穷，定理在扩展意义下仍成立。

---

### 4. 与“控制收敛定理”的区别

- **Levi 定理**：只需要单调递增 + 积分有上界（或至少有一个可积的上界，其实隐含在单调性里如果第一个函数可积）。
- **控制收敛定理**：不需要单调，但需要一个可积的控制函数把所有的$ f_n$ 包住。

Levi 定理更简单直观：函数列只增不减，那么极限和积分可交换。

---

### 5. 例子

设$ f_n(x) = 1 - \frac{1}{n}$ 在$[0,1]\) 上，显然：
-$ f_n$ 单调递增趋向于$ 1$。
- 积分$\int_0^1 f_n(x)dx = 1 - \frac{1}{n} \to 1\)。
- 极限函数$ f(x) = 1$，其积分也是$ 1$。

所以：
$$
\lim_{n\to\infty} \int f_n = \int \lim_{n\to\infty} f_n
$$
成立。

---

**一句话总结**：

> Levi 定理告诉我们：如果一个逐渐增高的函数列，其积分值不发散到无穷，那么极限函数的积分就等于函数列积分的极限。

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