最后更新: 2025-11-27 10:47 查看: 129 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

Levi 列维定理

## 积分的极限定理
这一节讨论的问题是，对于在某种意义下收敛的函数列，它的极限函数的积分与这列函数的积分的极限有什么关系，特别是在什么条件下二者相等，也就是通常说的积分与极限交换次序，或积分号下取极限的问题．积分对积分域的可数可加性，以及函数项级数的逐项积分，实际上也属于这类问题．数学上这类问题很多，但当所出现的积分是 Riemann 积分时，从数学分析知道，对函数列的要求较高，而在 Lebesgue 积分情形，由本节可见，条件则较宽松．这也是 Lebesgue 积分有广泛应用的重要原因．

还是先从非负函数的情形开始．若 $\left\{\varphi_k\right\}$ 是 $E \subset R ^n$ 上的非负简单函数的递增（对 $k$ ）列，那么 $\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)$ 自然有意义并且是 $E$ 上的非负可测函数．于是由 $\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)$ 积分的定义得

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \varphi_k(x) d x=\int_E \lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x) d x
$$

就是说，这种情形下积分与极限可以交换次序，其实它只不过是非负函数积分定义的重新叙述．那么，作一点推广，将其中的＂简单函数列＂换成＂可测函数列＂ （仍保持为递增列），结果会怎样？

**定理 4.12**（列维（Levi）定理）设 $\left\{f_k\right\}$ 是 $E$ 上非负可测函数的递增列，记

$$
f(x)=\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)(x \in E),
$$

则

$$
\int_E f(x) d x=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E f_k(x) d x
$$

证明 由于 $f$ 在 $E$ 上非负可测，所以只需证明，存在 $E$ 上的非负简单函数的递增列 $\left\{\varphi_k\right\}$ ，使得

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)=f(x)(x \in E),
$$

同时又有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \varphi_k(x) d x=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E f_k(x) d x
$$

则由前面的说明，本定理的结论就能成立了．
现在来构造这样的 $\left\{\varphi_k\right\}$ ．由于每个 $f_k$ 是非负可测的，故存在收敛于 $f_k$ 的非负简单函数的递增列 $\left\{\varphi_{k, i} \mid i=1,2 \cdots\right\}$ ，使得

$$
\lim _{i \rightarrow \infty} \int_E \varphi_{k, i}(x) d x=\int

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