最后更新: 2025-11-27 10:36 查看: 332 次纠错评论(0) 课件开VIP

积分的绝对连续性

## 积分的绝对连续性
**定理 4.11** 设 $f \in L(E)$ ，则对任意的 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得对 $E$ 的任意可测子集 $E_0$ ，只要满足 $m E_0<\delta$ ，就有 $\int_{E_0}|f(x)| d x<\varepsilon$ ．

证明 首先证明，当 $f$ 是 $E$ 上的有界可测函数时，结论是正确的．事实上，若

$$
|f(x)| \leqslant M \quad(x \in E)
$$

只需取 $\delta=\varepsilon / M$ ，则当 $E_0 \subset E$ 且 $m E_0<\delta=\varepsilon / M$ 时，明显有

$$
\int_{E_0}|f(x)| d x \leqslant M \cdot m E_0<\varepsilon .
$$

一般情况，因 $f \in L(E)$ ，存在非负简单函数的递增列 $\left\{\varphi_k(x)\right\}$ ，使得

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)=|f(x)| \quad(x \in E)
$$

且

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \varphi_k(x) d x=\int_E|f(x)| d x<\infty .
$$

所以存在自然数 $N$ 使得

$$
\int_{\varepsilon} \varphi_N(x) d x>\int_E|f(x)| d x-\varepsilon / 2 .
$$

但简单函数都是有界的，故对于 $\varphi_N$ 存在 $\delta>0$ ，当 $E_0 \subset E$ 且 $m E_0<\delta$ 时有

$$
\int_{\varepsilon_0} \varphi_N(x) d x<\varepsilon / 2
$$

而 $\int_{E \backslash E_0}|f(x)| d x \geqslant \int_{E \backslash \varepsilon_0} \varphi_N(x) d x$（因 $|f(x)| \geqslant \varphi_N(x)$ ），因此

$$
\begin{aligned}
\int_{\varepsilon_0}|f(x)| d x & =\int_E|f(x)| d x-\int_{E \backslash E_0}|f(x)| d x \\
& <\int_E \varphi_N(x) d x+\frac{\varepsilon}{2}-\int_{E \backslash E_0} \varphi_N(x) d x \\
& =\int_{E_0} \varphi_N(x)+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon .
\end{aligned}
$$

回忆数学分析中学过的，所谓连续性，是指自变量变化很小时，函数值的变化也很小．这里说的积分连续性，可以看成集合函数

$$
F(E)=\int_E|f(x)| d x
$$

当自变量 $E$ 从 $E_0$ 变到 $E_1$（或相反），其增量（用测度度量）$m\left(E_0 \Delta E_1\right)$ 很小时（其中 $E_0 \Delta E_1=\left(E_1 \backslash E_0\right) \cup\left(E_0 \backslash E_1\right)$ ，称为 $E_0$ 与 $E_1$ 的对称差），函数值相应增量（的绝对值）

$$
\left|\int_{E_1}\right| f(x)\left|d x-\int_{E_0}\right| f(x)|d x| \leqslant F\left(E_1 \Delta E_0\right)=\int_{E_1 \Delta E_0}|f(x)| d x
$$

便很小．所谓绝对连续是说，只要 $m\left(E_0 \Delta E_1\right)$ 充分小，$F$ 的函数值（即 $f$ 的积分值）就变化很小，而绝对不用管点集 $E$（自变量）是怎么变的，即无论 $E_0, E_1$ 的位置在什么地方．这就是＂积分的绝对连续性＂这一名词的由来．可以证明，反过来，若可测函数 $f$ 的积分具有绝对连续性，则 $f$ 是可积函数（本章习题第 7 题）．因此绝对连续性是 Lebesgue 积分或 Lebesgue 可积函数的重要特征（充分必要条件）．关于它，下一章还会有更多的阐述．

## 理解：积分的绝对连续性

---
###  1. 先看名字的意思

- **积分**：这里指勒贝格积分，可以理解为“加权总面积”。
- **绝对**：指“无条件地”、“不管怎样都”。
- **连续性**：指当测度（集合的“大小”）很小时，积分值也很小。

合起来就是：  
**只要集合 $E$ 的“大小”（测度）足够小，那么函数在 $E$ 上的积分值就可以任意小，而且这个“小”不依赖于集合的位置，只依赖于它的大小。**

---

### 2. 一个比喻：**“水池里的水”**

把定义域 $[a,b]$ 想象成一个水池，函数 $f(x)$ 是水池各点的水深，积分 $\int_E f$ 就是集合 $E$ 区域内的总水量。

- 如果 $f$ 可积，意味着总水量有限（整个水池的水是有限吨数）。
- **绝对连续性** 就是说：  
  你随便从水池里用勺子舀出一小部分区域（测度很小的集合 $E$），那么舀出来的水量一定很少。  
  无论这小部分区域在水池的哪个位置（哪怕是水深最深的地方），只要区域足够小，水量就小。

---

### 3. 数学定义回顾

设 $f$ 可积，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任何可测集 $E$，只要 $m(E) < \delta$，就有
$$
\left|\int_E f\,dm\right| < \varepsilon.
$$
（如果 $f \ge 0$，可以去掉绝对值。）

---

### 4. 为什么不是显然的？

你可能觉得：区域小，积分当然小啊？  
但考虑一个反例：如果 $f$ 在某些点取值无穷大，那即使区域很小，积分也可能很大。

例如，$f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上不可积（广义积分存在，但勒贝格不可积），因为它在 0 附近区域即使很小也能贡献很大积分值。

**绝对连续性** 其实是可积性的一个本质性质：可积函数不能有太多“集中在很小区域内的巨大值”。

---

### 5. 反例思考

假设 $f_n$ 是一个高而窄的函数峰，峰高 $n$，宽 $1/n$，那么它的积分是 1，但集中在测度 $1/n$ 上。  
如果 $f$ 在某个点有类似 Dirac δ 函数那样的性质（但勒贝格积分要求 $L^1$，所以真正的 δ 函数不是勒贝格可积函数），就不满足绝对连续性。

实际上，**绝对连续性排除了“集中巨大能量于一点附近”** 的情况。

---

**一句话总结**：

> 积分的绝对连续性，就是保证函数在足够小的集合上的积分值可以忽略不计，这是勒贝格可积函数的一个重要“温和”性质。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：控制函数

下一篇： Levi 列维定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)