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控制函数

## 控制函数
上一节定理 4.6 说的是 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的一个不同点，Riemann 积分不具有定理 4.6 所说的这种绝对可积性．例如在 $[0,1]$ 的有理点为 1 ，在无理点为 -1 的函数，它在 $[0,1]$ 不 Riemann 可积．而它的绝对值（恒为 1 ）在 $[0,1]$ 却是 Riemann 可积的．而 Lebesgue 积分却有这种绝对可积性；即 $f$ 与 $|f|$ 同时可积或同时不可积．由定理 4.6 可以得出下述简单而有用的关于函数可积的判别法．

**定理4.7** 设 $f$ 在 $E \subset R ^n$ 上可测，若存在非负函数 $F \in L(E)$ ，使得 $|f(x)|$ $\leqslant F(x)$（这时称 $F$ 为 $f$ 的控制函数），则 $f \in L(E)$ ．

证明 按照非负函数积分的性质及 $F \in L(E)$ ，

$$
\int_E|f(x)| d x \leqslant \int_E F(x) d x<\infty
$$

故按前一定理，$f \in L(E)$ ． $\square$

> 推论 有界可测集上的有界可测函数一定可积．

证明 若 $|f(x)| \leqslant M(x \in E), m E<\infty$ ，则 $\int_E M d x=M \cdot m E<\infty$ ，故由本定理即得。 $\square$

**这个定理的方便之处在于，为了判定函数 $f$ 可积，计算 $\int_E f^{+}(x) d x$ 和 $\int_E f^{-}(x) d x$ 有时是很烦琐的；而寻找可积的控制函数却相对简单．**

由积分定义和已证的定理，很容易推得积分的下面几条性质，我们仍将它列为定理形式，证明则留给读者。

定理 4.8
（i）若 $f \in L(E)$ ，则 $|f(x)|<\infty$ a．e．于 $E$ ；
（ii）若 $f$ 是零测集 $E$ 上的任意广义实值函数，则 $\int_{\varepsilon} f(x) d x=0$ ，从而 $f \in L(E)$ ；
（iii）若 $f$ 与 $g$ 都是 $E \subset R ^n$ 上的可测函数，且 $f \sim g$ 于 $E$ ，则 $f$ 与 $g$ 在 $E$ 上同时可积或者同时不可积，并且在可积时，它们的积分值相等．

一般函数 $f$ 的积分，也有线性性质，其实这只需将非负函数积分的相应性质用到 $f^{+}$和 $f^{-}$，就可以得到．

定理4．9（i）若 $f \in L(E), g \in L(E), a, b$ 是常数，则 $a f+b g \in L(E)$ 且

$$
\int_E(a f(x)+b g(x)) d x=a \int_E f(x) d x+b \int_E g(x) d x
$$

（ii）若有 $f \in L\left(E_1\right), f \in L\left(E_2\right)$ 且 $E_1 \cap E_2=\varnothing$ ，则 $f \in L\left(E_1 \cup E_2\right)$ 且

$$
\int_{E_1 \cup E_2} f(x) d x=\int_{E_1} f(x) d x+\int_{E_2} f(x) d x ;
$$

（iii）若 $f \in L(E), E_0 \subset E, E_0$ 也可测，则 $f \in L\left(E_0\right)$ 且

$$
\int_{E \backslash E_0} f(x) d x=\int_E f(x) d x-\int_{E_0} f(x) d x .
$$

证明（i）我们将分别证明

$$
a f \in L(E) \text { 且 } \int_E a f(x) d x=a \int_E f(x) d x \text {, }
$$

以及

$$
f+g \in L(E) \text { 且 } \int_{\varepsilon}(f(x)+g(x)) d x=\int_E f(x) d x+\int_{\varepsilon} g(x) d x \text {, }
$$

由此即知结论成立．
首先，由于 $|c f(x)|=|c| \cdot|f(x)|$ ，故 $c f \in L(E)$ ．又 $c \geqslant 0$ 时，

$$
(c f(x))^{+}=c f^{+}(x),(c f(x))^{-}=c f^{-}(x)
$$

故由定理4．2即得 $c f$ 与 $f$ 的积分关系式．$c<0$ 时，注意 $(c f(x))^{+}=|c| f^{-}(x)$ 及 $(c f(x))^{-}=|c| f^{+}(x)$ ，同样可以证明 $c f$ 与 $f$ 的积分关系式．

关于 $f+g$ 的可积性，可由 $|f(x)+g(x)| \leqslant|f(x)|+|g(x)|$ ，根据非负函数积分的可加性及定理 4.6 得到．而由于

$$
\begin{aligned}
f(x)+g(x) & =(f(x)+g(x))^{+}-(f(x)+g(x))^{-} \\
& =\left(f^{+}(x)-f^{-}(x)\right)+\left(g^{+}(x)-g^{-}(x)\right) .
\end{aligned}
$$

移项可得
$$
f^{-}(x)+g^{-}(x)+(f(x)+g(x))^{+}=f^{+}(x)+g^{+}(x)+(f(x)+g(x))^{-}
$$

这个等式两端共 6 项，全为非负可测函数，因此各项可以分别积分再相加，然后再移项，由积分定义即可证得 $f+g$ 与 $f, g$ 的积分之间的关系．
（ii）令 $f_1(x)=f(x) \chi_{E_1}(x), f_2(x)=f(x) \chi_{E_2}(x)$ ，注意

$$
\int_{E_1 \cup E_2} f_1(x) d x=\int_{E_1} f(x) d x, \quad \int_{E_1 \cup E_2} f_2(x) d x=\int_{E_2} f(x) d x
$$

对 $f_1+f_2$ 应用已经证明的（i）（积分关于函数的可加性），就可证得．
（iii）由于 $E_0 \cup\left(E \backslash E_0\right)=E, E_0 \cap\left(E \backslash E_0\right)=\varnothing$ ，所以对 $E_0$ 及 $E \backslash E_0$ 应用已证明的（ii）（积分对积分域的可加性）就可得结论。 $\square$
也同非负函数情形一样，由函数之间的不等式关系，可以推得它们的积分之间的关系。

定理4．10（i）设 $f \in L(E), g \in L(E)$ ．若 $f(x) \leqslant g(x)$ a．e．于 $E$ ，则

$$
\int_E f(x) d x \leqslant \int_E g(x) d x
$$

（ii）若 $f \in L(E)$ ，则
$$
\left|\int_{\varepsilon} f(x) d x\right| \leqslant \int_E|f(x)| d x .
$$

证明（i）因为 $f(x)-g(x) \geqslant 0$ a．e．，由前一定理以及非负函数积分的不等式关系（定理4．2之（ii）），可知

$$
\int_E(f(x)-g(x)) d x=\int_E f(x) d x-\int_E g(x) d x \geqslant 0,
$$

移项就得到结论．
（ii）由于 $-|f(x)| \leqslant f(x) \leqslant|f(x)|$ ，所以由（i）即得．
下面定理所反映的可积函数的重要性质称为积分的绝对连续性．

## 理解：控制函数

## 1. 一个生活比喻：**“工资条总和”**

想象你每个月都有奖金，奖金数额波动很大。

- 你想算一算 **全年奖金总和**。
- 但每个月奖金是未知的，逐月公布。
- 你怕加起来的某个月奖金突然巨大，导致年总和算不准或“爆炸”。

这时候，如果你 **事先知道**：每个月的奖金绝对不会超过 10000 元（这个 **10000 元** 就是一个 **控制函数** 的比喻——它在这里是常数函数）。

那么：
- 无论每个月奖金怎么变，都在控制之内。
- 你计算全年总和时，不会出现“无穷大”或无法定义的情况。
- 并且，你可以放心地逐月累加（逐月逼近），最后结果会收敛到正确的年奖金。

---

## 2. 在积分中的问题

在数学里，我们经常遇到一列函数 $ f_n(x) $ 逼近 $ f(x) $，想问：
$$
\lim_{n\to\infty} \int f_n(x) \, dx \overset{?}{=} \int \lim_{n\to\infty} f_n(x) \, dx
$$
即：**极限号与积分号能否交换**？

如果没有控制，可能出问题：

**例子**：  
在 $[0,1]$ 上定义 $ f_n(x) = n \cdot \mathbf{1}_{(0,1/n)}(x) $（一个高而窄的矩形）。

- 对每个 $ x > 0 $，当 $ n $ 很大时 $ f_n(x) \to 0 $，所以极限函数 $ f(x) = 0 $。
- 但 $\int f_n(x) dx = n \cdot \frac{1}{n} = 1$，不趋于 0。

这里，$\int \lim f_n = 0$，而 $\lim \int f_n = 1$，不能交换。

---

## 3. “控制”的作用

**控制收敛定理** 说：  
如果存在一个函数 $ g(x) $ 使得：
1. 对所有 $ n $ 和 $ x $，有 $ |f_n(x)| \le g(x) $；
2. $ g(x) $ 是可积的（$\int g(x) dx < \infty$）；

那么极限与积分就可以交换。

这个 $ g(x) $ 就是 **控制函数**。

它像一个“信封”，把所有的 $ f_n(x) $ 包在里面，防止它们在某些地方“冒尖”导致积分出问题。

---

## 4. 再通俗化

想象一群羊（函数列 $ f_n $）在草原（定义域）上吃草，每只羊的位置（函数值）在变化。

- 控制函数 $ g(x) $ 就像一条 **拴羊的绳子** 的最大长度，保证羊不会跑到无限远。
- 牧羊人（数学家）知道羊的活动范围有限，所以可以安全地计算羊群的平均位置（积分），并且平均位置的极限等于极限的平均位置。

---

**一句话总结**：

> 控制函数就是一个可积的“笼子”，把函数序列全部关在里面，从而保证极限和积分可以交换顺序。

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