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实变函数论
第四章 勒贝格Lebesgue积分
一般可测函数的积分
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2025-11-27 10:22
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一般可测函数的积分
## 一般可测函数的积分 一般(变号的)可测函数的积分,可定义为它的正部与负部这两个非负函数的积分之差。 **定义4.3** 设 $f$ 是定义于 $E \subset R ^n$ 上的可测函数,若 $f$ 的正部 $f^{+}$与负部 $f^{-}$在 $E$ 上的积分不同时为 $\infty$ ,则定义 $f$ 在 $E$ 上的 Lebesgue 积分为 $$ \int_E f(x) d x=\int_E f^{+}(x) d x-\int_E f^{-}(x) d x $$ 若这个积分取有限值(等价于上式右端两个积分皆为有限值),则称 $f$ 在 $E$ 上是 Lebesgue 可积的(以后简称 $L$ 可积或可积)。在 $E$ 上可积函数全体(集合)记为 $L(E)$ ,或简记为 $L$ . $f$ 在区间 $[a, b]$ 上可积写成 $f \in L(a, b)$ ,相应积分有时也写成 $\int_a^b f(x) d x$ . 这个简单的定义将一般的可测函数(包括函数值有正有负的简单函数)的积分归到函数非负的情形.要注意的是,"可积"一词是指,函数不但有积分值,并且积分是有限数.以后可见,函数可积比单纯积分有意义更为重要. 定理 4.6 可测函数 $f$ 在 $E \subset R ^n$ 上可积的充分必要条件是,它的绝对值函数 $|f|$ 在 $E$ 上可积. 证明 由于 $f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$ ,所以由 $f$ 的积分定义,以及非负函数积分的可加性立即可知,$|f|$ 可积的充分必要条件是, $f^{+}$与 $f^{-}$都可积(积分有限)。因此定理得证。 定理 4.6 说的是 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的一个不同点,Riemann 积分不具有定理 4.6 所说的这种绝对可积性.例如在 $[0,1]$ 的有理点为 1 ,在无理点为 -1 的函数,它在 $[0,1]$ 不 Riemann 可积.而它的绝对值(恒为 1 )在 $[0,1]$ 却是 Riemann 可积的.而 Lebesgue 积分却有这种绝对可积性;即 $f$ 与 $|f|$ 同时可积或同时不可积.由定理 4.6 可以得出下述简单而有用的关于函数可积的判别法.
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