最后更新: 2025-11-27 10:21 查看: 67 次纠错评论(0) 课件开VIP

勒贝格积分的性质

## 勒贝格积分的性质
**定理4.2** （i） $0 \leqslant \int_{\varepsilon} f(x) d x \leqslant \infty$ ；
（ii） $\int_E c f(x) d x=c \int_E f(x) d x$（ $c$ 为非负常数）；
（iii） $\int_E[f(x)+g(x)] d x=\int_E f(x) d x+\int_E g(x) d x$ ；
（iv）若 $E=E_1 \cup E_2, E_1, E_2$ 可测且 $E_1 \cap E_2=\varnothing$ ，则

$$
\int_E f(x) d x=\int_{E_1} f(x) d x+\int_{E_2} f(x) d x ;
$$

（v） $0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)(x \in E)$ ，则 $\int_E f(x) d x \leqslant \int_E g(x) d x$ ．
证明 结论（i）至（iv）都可以在积分定义的基础上，根据定理4．1的相应结论加以证明．以（iii）为例，若设 $\left\{\varphi_k\right\}$ 与 $\left\{\psi_k\right\}$ 分别是以函数 $f$ 与 $g$ 为极限的非负

简单函数的递增列，则 $\left\{\varphi_k+\psi_k\right\}$ 是以 $f+g$ 为极限的非负简单函数的递增列，注意极限运算法则当各项极限非负（即使有的项的极限是 $+\infty$ ）时仍然成立，便可证明（iii）；关于（iv），可设

$$
f_1(x)=f(x) \chi_{E_1}(x), \quad f_2(x)=f(x) \chi_{E_2}(x)
$$

容易看出

$$
f(x)=f_1(x)+f_2(x), \int_E f_1(x) d x=\int_{E_1} f(x) d x, \int_E f_2(x) d x=\int_{E_2} f(x) d x
$$

于是由（iii）可得结论．
关于 $(v)$ ，可用引理 4.1 ，仿照非负函数的积分值与所选的简单函数列无关的证明给出，请读者自己写出来。

注 本定理之（iii），（iv）可推广到任意有限个函数（集）之和（并）的情形．
推论（i）若 $0 \leqslant A \leqslant f(x) \leqslant B(x \in E, A, B$ 为常数），则

$$
A m E \leqslant \int_E f(x) d x \leqslant B m E
$$

（ii）若 $a$ 为正的常数，则

$$
m E(f \geqslant a) \leqslant 1 / a \int_E f(x) d x
$$

此式通常称为切比雪夫（Chebyshev）不等式．

证明（i）这是本定理之 $(v)$ 当其中一个函数为常值函数的特殊情形．
（ii）令

$$
\varphi_a(x)= \begin{cases}a, & f(x) \geqslant a, \\ 0, & f(x)<a .\end{cases}
$$

则 $\varphi_a(x)$ 是非负简单函数，且 $\varphi_a(x) \leqslant f(x)(x \in E)$ ．因此由本定理之（ii）与 $(v)$

$$
a m E(f \geqslant a)=\int_E \varphi_a(x) d x \leqslant \int_E f(x) d x
$$

两端除以 $a$ 即得结论． $\square$
定理4．3 $\int_E f(x) d x=0$ 的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处等于 0 ，即 $f \sim 0$ 于 $E$ ．

证明 若 $f \sim 0$ ，而 $\left\{\varphi_k\right\}$ 是以 $f$ 为极限的非负简单函数的递增列，则对所有 $k, \varphi_k \sim 0$ ，从而 $\int_{\varepsilon} \varphi_k(x) d x=0$ ．因此

$$
\int_E f(x) d x=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \varphi_k(x) d x=0
$$

反之，若 $\int_{\varepsilon} f(x) d x=0$ ，则对任意正整数 $k$ ，由 Chebyshev 不等式，

$$
m E(f>1 / k) \leqslant k \int_E f(x) d x=0
$$

从而 $m E(f>1 / k)=0$ ，于是

$$
m E(f>0)=m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E(f>1 / k)\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} m E(f>1 / k)=0 .
$$

故 $m E(f>0)=0$ ，即 $f \sim 0$ 于 $E$ ．$\square$
定理 4.4 若 $\int_E f(x) d x<\infty$ ，则 $f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限．
证明 由 Chebyshev 不等式，对任意 $k>0$ 有

$$
m E(f>k) \leqslant 1 / k \int_E f(x) d x
$$

而 $\int_E f(x) d x$ 为有限常数，因此 $\lim _{k \rightarrow \infty} m E(f>k)=0$ ．注意对任意 $k, E(f=\infty) \subset$ $E(f>k)$ ，故

$$
m E(f=\infty) \leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} m E(f>k)=0 .
$$

可见 $m E(f=\infty)=0$ ，即 $f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限．
例 4 设 $\int_E f(x) d x<\infty$ ，证明

$$
\sum_{k=1}^{\infty} k m E(k \leqslant f(x)<k+1)<\infty .
$$

证明 令 $E_k=E(k \leqslant f<k+1)(k=0,1,2, \cdots)$ ，则 $E_k \cap E_m=\varnothing(k \neq m$ 时 $)$ ．记 $E_N^*=\bigcup_{k=1}^N E_k$ ，由积分对积分域的可加性及非负性（定理4．2之（iv）），对任意正整数 $N$ 有

$$
\int_E f(x) d x=\sum_{k=0}^N \int_{E_k} f(x) d x+\int_{E \backslash E_A} f(x) d x \geqslant \sum_{k=1}^N k m E_k
$$

而 $\int_E f(x) d x$ 为非负常数，故正项级数 $\sum_{k=1}^{\infty} k m E_k$ 收敛．
下面的定理反映出，本节定义的非负可测函数的积分，与按绪论所讲方法定义的本质上相同。

定理4．5 设 $f(x)$ 是在 $E$ 几乎处处有限的非负可测函数，$m(E)<+\infty$ ，对 $[0,+\infty)$ 作如下的分法：

$$
0=y_0<y_1<y_2<\cdots<y_k<y_{k+1}<\cdots,
$$

其中 $y_{k+1}-y_k<\delta(k=0,1, \cdots)$ ．令

$$
E_k=\left\{x \in E \mid y_k \leqslant f(x)<y_{k+1}\right\}
$$

则 $f \in L(E)$（积分值为有限）的充分必要条件是 $\sum_{k=0}^{\infty} y_k m\left(E_k\right)<+\infty$ ，并且

$$
\int_{\varepsilon} f(x) d x=\lim _{\delta \rightarrow 0} \sum_{k=0}^{\infty} y_k m\left(E_k\right)
$$

证明 因为

$$
y_k m\left(E_k\right) \leqslant \int_{E_k} f(x) d x \leqslant y_{k+1} m\left(E_k\right)
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{\infty} y_k m\left(E_k\right) & \leqslant \int_E f(x) d x \leqslant \sum_{k=0}^{\infty} y_{k+1} m\left(E_k\right) \\
& =\sum_{k=0}^{\infty}\left(y_{k+1}-y_k\right) m\left(E_k\right)+\sum_{k=0}^{\infty} y_k m\left(E_k\right) \\
& \leqslant \delta m(E)+\sum_{k=0}^{\infty} y_k m\left(E_k\right)
\end{aligned}
$$

因此 $\sum_{k=0}^{\infty} y_k m\left(E_k\right)=+\infty$ 当且仅当 $\int_E f(x) d x=+\infty$ ，而当 $\sum_{k=0}^{\infty} y_k m\left(E_k\right)<$ $+\infty$ 时，

$$
0 \leqslant \int_E f(x) d x-\sum_{k=0}^{\infty} y_k m\left(E_k\right) \leqslant \delta m(E)
$$

令 $\delta \rightarrow 0$ 取极限，便得

$$
\int_E f(x) d x=\lim _{\delta \rightarrow 0} \sum_{k=0}^{\infty} y_k m\left(E_k\right)
$$

## 通俗解释
勒贝格积分的性质可以通过**“分类统计+灵活忽略小误差”**的思路通俗理解，以下是结合生活场景和数学逻辑的类比说明：

---

### 一、**线性性：合并购物清单**
勒贝格积分满足线性性质，即**“合并两个购物清单的总金额等于各自金额之和”**。  
• **数学表达**：若$f$和$g$可积，$a$、$b$为常数，则$\int (af + bg)dx = a\int f dx + b\int g dx$。  
• **生活类比**：  
  假设你分别购买苹果（单价5元）和香蕉（单价3元），总花费是$5x + 3y$元。勒贝格积分的线性性意味着，无论你买多少斤苹果和香蕉，总金额可以直接按单价相加计算，无需逐笔核对。

---

### 二、**单调性：水位上升**
若函数单调递增（如水位随时间上升），其积分值也单调递增。  
• **数学表达**：若$f \leq g$几乎处处成立，则$\int f dx \leq \int g dx$。  
• **生活类比**：  
  想象监测水库水位，若水位随时间单调上升，累计蓄水量（积分）也会单调增加。即使偶尔有短暂波动（测度为零的异常点），整体趋势不变。

---

### 三、**收敛定理：马拉松选手的终点**
勒贝格积分的收敛定理允许**“选手接近终点时忽略少数滞后者”**。  
• **单调收敛定理**：若$f_n$单调递增且收敛于$f$，则$\int f_n dx \to \int f dx$。  
• **控制收敛定理**：若$f_n$被可积函数$g$控制（即$|f_n| \leq g$），且$f_n \to f$，则$\int f_n dx \to \int f dx$。  
• **生活类比**：  
  在马拉松比赛中，若大部分选手逐渐接近终点（$f_n \to f$），即使有少数选手因体力问题落后（滞后者），整体到达终点的比例（积分）仍由领先者决定。

---

### 四、**处理异常值：忽略测度为零的噪点**
勒贝格积分允许**“忽略小面积的噪声区域”**，即使这些区域内有极端值。  
• **数学本质**：若异常点集的测度为零（如狄利克雷函数的有理数点），其积分值不受影响。  
• **生活类比**：  
  分析股票价格波动时，若某笔交易因系统错误出现异常高价（测度为零的噪点），勒贝格积分可自动忽略该笔交易，计算整体波动时不受干扰。

---

### 五、**与黎曼积分的对比**
| **性质**         | **勒贝格积分**                | **黎曼积分**                |
|------------------|-----------------------------|---------------------------|
| **处理异常值**   | 允许测度为零的异常区域| 要求函数几乎处处连续|
| **收敛性**       | 支持单调收敛和控制收敛| 仅支持一致收敛|
| **适用函数类**   | 广义函数（如病态函数）| 连续或分段连续函数|

---

### 总结
勒贝格积分的本质是**“用测度量化整体效果，忽略次要细节”**。它通过“分类统计+灵活忽略小误差”的方式，解决了黎曼积分在处理病态函数、极限交换等问题上的局限性，成为现代数学分析、概率论和工程领域的核心工具。

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