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勒贝格积分

## 勒贝格积分
**定义4.2** 设 $f$ 是可测集 $E \subset R ^n$ 上的非负可测函数，$\left\{\varphi_k\right\}$ 是收敛于 $f$ 的非负简单函数的（对 $k$ 的）递增列，即每个 $\varphi_k$ 是 $E$ 上的简单函数，且

$$
\begin{gathered}
0 \leqslant \varphi_1(x) \leqslant \varphi_2(x) \leqslant \cdots \leqslant \varphi_k(x) \leqslant \varphi_{k+1}(x) \cdots(\leqslant f(x)), \\
\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)=f(x), \quad(x \in E),
\end{gathered}
$$

则称极限 $\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{\varepsilon} \varphi_k(x) d x$（有限实数或 $+\infty$ ）为函数 $f$ 在 $E$ 上的 **Lebesgue 积分**，记为 $\int_E f(x) d x$（或在积分号前加 $(L)$ ）．

在这个定义中，$\left\{\varphi_k\right\}$ 对于 $k$ 是递增的，这就保证了 $\left\{\int_{\varepsilon} \varphi_k(x) d x\right\}$ 是递增数列（由定理4．1之（v）），因此极限 $\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \varphi_k(x) d x$ 有意义．但是还有一个问题，这样定义的 $\int_{\varepsilon} \varphi(x) d x$ 是否只由被积函数 $f$ 及积分域 $E$ 确定，而与 $\left\{\varphi_k\right\}$ 的选择无关．只有在这个问题解决以后，这个定义才是合理的．为此需要以下引理．

**引理4.1** 设 $\varphi$ 和所有 $\psi_k(k=1,2, \cdots)$ 都是可测集 $E \subset R ^n$ 上的非负简单函数，并且当 $x \in E$ 时，

$$
\psi_k(x) \leqslant \psi_{k+1}(x) \quad(k=1,2, \cdots)
$$

且

$$
\varphi(x) \leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} \psi_k(x),
$$

则有

$$
\int_{\varepsilon} \varphi(x) d x \leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \psi_k(x) d x .
$$

证明 设 $\varphi$ 如（1）所表示，如果我们能对任意 $i$ ，证明

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{E_i} \psi_k(x) d x \geqslant \int_{E_i} \varphi(x) d x=c_i m E_i,
$$

则根据简单函数积分的可加性（本节定理 4.1 之（iv）），对 $i$ 相加，便得引理的结论．因此，可只证 $x \in E$ 时 $\varphi(x)=c$（常数）的情形．这时令 $A_k=|x| x \in E$ ， $\left.\psi_k(x)>c-\varepsilon\right\}(\varepsilon$ 为任意正数，$k=1,2, \cdots)$ ，由于 $\left\{A_k\right\}$ 为递增的可测集列（因 $\left\{\psi_k\right\}$ 对 $k$ 递增）及

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \psi_k(x) \geqslant \varphi(x)>c-\varepsilon(x \in E),
$$

则有

$$
m E=m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right)=m\left(\lim _{k \rightarrow \infty} A_k\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} m A_k,
$$

而由 $A_k \subset E$ 可得

$$
\int_{\varepsilon} \psi_k(x) d x \geqslant \int_{A_k} \psi_k(x) d x \geqslant(c-\varepsilon) m A_k,(k=1,2, \cdots) .
$$

在不等式两端取极限，有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \psi_k(x) d x \geqslant(c-\varepsilon) m E,
$$

注意到 $\varepsilon$ 是任意正数，即得

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \psi_k(x) d x \geqslant c m E=\int \varphi(x) d x .
$$

引理成立．
现在用引理 4.1 证明，定义 4.2 中 $f$ 的积分与简单函数列的选择无关．设 $\left\{\varphi_k\right\}$ 是上述定义中的简单函数列，而 $\left\{\psi_l\right\}$ 是另一在 $E$ 上收敛到 $f$ 的非负简单函数的递增列，则有

$$
\begin{aligned}
& \lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)=f(x) \geqslant \psi_I(x), \\
& \lim _{k \rightarrow \infty} \psi_k(x)=f(x) \geqslant \varphi_m(x)
\end{aligned}
$$

对任意的正整数 $l, m$ 与 $x \in E$ 成立．因此由引理 4.1 知

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \varphi_k(x) d x \geqslant \int \psi_l(x) d x,
$$

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \psi_k(x) d x \geqslant \int_E \varphi_m(x) d x .
$$

再对 $l, m$ 分别取极限，就得到

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \varphi_k(x) d x=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_E \psi_k(x) d x
$$

> 这就是说所定义的 $\int_E f(x) d x$ 确实与 $\left\{\varphi_k\right\}$ 选择无关．因而，对于非负函数，只要它可测，其积分就有意义（但值可能为 $\infty$ ）．

`例4.3` 设 $f$ 是闭区间 $[0,1]$ 上的非负连续函数，$f(0)=0, f(1)=1$ ．试说明 $f$的 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系．

解 首先注意 $f$ 在 $[0,1]$ 上既是 Riemann 可积的，也是非负可测函数，故它的 Riemann 积分与 Lebesgue 积分都有意义．对任意正整数 $k$ ，把 $[0,1] 2^k$ 等分，定义如下：$\varphi_k(x)=m_i$ ，当 $x \in\left[(i-1) / 2^k, i / 2^k\right), i=1,2, \cdots, 2^k, \varphi_k(1)=f(1)$ ，其中 $m_i$ 是 $f$ 在 $\left[(i-1) / 2^k, i / 2^k\right)$ 的下确界．这时 $\left\{\varphi_k\right\}$ 是在 $[0,1]$ 上处处收敛到 $f$ 的非负简单函数列（实际上是阶梯函数列），对 $k$ 是递增的．按定义
（L） $\int_{[0,1]} f(x) d x=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{[0,1]} \varphi_k(x) d x=\lim _{k \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2^k} \frac{m_i}{2^k}$.
但是显然这个和数是 $f$ 的 Darboux 下和，因此又有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2^k} m_i / 2^k=(R) \int_0^1 f(x) d x(f \text { 的黎曼积分 }) .
$$

这样就证明了 $f$ 在 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 积分与 Riemann 积分相等．

本题可以这么理解: $f$的取值为$[0,1]$，也就是$y$轴长度为1，现在沿着$y$轴分割$2^k$ 份，那么每个$\Delta y=m_i$。 当 $y=m_i$ 时，其对应的$x$ 取值范围是$x \in\left[(i-1) / 2^k, i / 2^k\right)$, $\left\{\varphi_k\right\}$ 是在 $[0,1]$ 上处处收敛到 $f$ 的非负简单函数列（实际上是阶梯函数列），对 $k$ 是递增的

![图片](/uploads/2025-11/913546.jpg)

> 这个题目证明了，对于函数$f$ 围城的阴影面积，不管你是沿着$x$ 分割（黎曼积分） 还是沿着$y$分割（勒贝格积分），他们计算出来的面积都是相等的。

![图片](/uploads/2025-11/a689db.jpg)

其实这只是一般结论（§4．4）的一个特例．
下面讨论积分的性质．本节以下各定理与例题中出现的函数 $f, g$ 等，都假定是可测集 $E$ 上的非负可测函数，对此不再重复叙述．

## 理解：勒贝格积分
现在，我们先一步步来，用 $ y = x^2 $ 在区间 $[0, 2]$ 上的勒贝格积分来通俗解释。

###  1. 问题回顾

- 函数：$ f(x) = x^2 $
- 区间：$ [0, 2] $
- 用黎曼积分（我们熟悉的积分）来算：

$$
\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}.
$$

### 2. 勒贝格积分的基本思想 
黎曼积分是把 **x 轴** 切成小区间，看函数值的变化。 
勒贝格积分是把 **y 轴** 的值域切成小段，看对应的 x 的“长度”（测度）。

应用到 $ y = x^2 $ 上

函数 $ f(x) = x^2 $ 在 $[0,2]$ 上，值域是 $[0, 4]$。

我们**把 y 轴切段**，比如切为：  
$ [0,1), [1,2), [2,3), [3,4] $  四个区间（这里为了简单，先分四段，实际上可以分细无穷段）。

### 3. 细划分计算

**区间 1**：值域 $ [0,1) $  
$ x^2 < 1 \Rightarrow x \in [0,1) $，测度 $ m_1 = 1 $。  
这区间上函数值在 0 到 1 之间，我们取这区间上函数的**最小值** 0 来近似（这是下和），或最大值 1 来近似（这是上和）。  
下和贡献：$ m_1 \times 0 = 0 $  
上和贡献：$ m_1 \times 1 = 1 $

**区间 2**：值域 $ [1,2) $  
$ 1 \le x^2 < 2 \Rightarrow x \in [1, \sqrt{2}) $，测度 $ m_2 = \sqrt{2} - 1 $。  
取下界 1：下和贡献 $ (\sqrt{2} - 1) \times 1 $  
取上界 2：上和贡献 $ (\sqrt{2} - 1) \times 2 $

**区间 3**：值域 $ [2,3) $  
$ 2 \le x^2 < 3 \Rightarrow x \in [\sqrt{2}, \sqrt{3}) $，测度 $ m_3 = \sqrt{3} - \sqrt{2} $  
下和贡献 $ (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \times 2 $  
上和贡献 $ (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \times 3 $

**区间 4**：值域 $ [3,4] $  
$ 3 \le x^2 \le 4 \Rightarrow x \in [\sqrt{3}, 2] $，测度 $ m_4 = 2 - \sqrt{3} $  
下和贡献 $ (2 - \sqrt{3}) \times 3 $  
上和贡献 $ (2 - \sqrt{3}) \times 4 $

### 4. 近似计算下和与上和

**下和**：
$$
S_- = 0 \cdot 1 + 1 \cdot (\sqrt{2} - 1) + 2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3 \cdot (2 - \sqrt{3})
$$
计算：
$$
= 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}
$$
$$
= (-1 + 6) + (\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (2\sqrt{3} - 3\sqrt{3})
$$
$$
= 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}
$$
数值近似：  
$ 5 - 1.414 - 1.732 = 5 - 3.146 = 1.854 $

---

**上和**：
$$
S^+ = 1\cdot 1 + 2(\sqrt{2} - 1) + 3(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 4(2 - \sqrt{3})
$$
$$
= 1 + 2\sqrt{2} - 2 + 3\sqrt{3} - 3\sqrt{2} + 8 - 4\sqrt{3}
$$
$$
= (1 - 2 + 8) + (2\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) + (3\sqrt{3} - 4\sqrt{3})
$$
$$
= 7 - \sqrt{2} - \sqrt{3}
$$
数值：$ 7 - 1.414 - 1.732 = 7 - 3.146 = 3.854 $

精确积分值 $ 8/3 \approx 2.667 $ 在 1.854 和 3.854 之间。  
如果值域划分更细，上下和会逼近 2.667。

### 5. 勒贝格积分的值

因为 $ f(x) = x^2 $ 是连续的，勒贝格积分与黎曼积分相等：
$$
\int_{[0,2]} x^2 \, dm = \frac{8}{3}.
$$

勒贝格的处理方式不是真的去这样分段加（**那是教学用的简单化**），而是用测度论：  
对非负函数，勒贝格积分 =
$$
\int_0^\infty m(\{x \in [0,2] : x^2 > t\}) \, dt
$$
这里：
$$
m(\{x: x^2 > t\}) = 
\begin{cases}
2 - \sqrt{t}, & 0 \le t \le 4 \\
0, & t > 4
\end{cases}
$$
所以：
$$
\int_0^4 (2 - \sqrt{t}) \, dt = \left[ 2t - \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_0^4
$$
$$
= 8 - \frac{2}{3} \cdot 8 = 8 - \frac{16}{3} = \frac{8}{3}.
$$

---

### 6. 通俗总结

对 $ y = x^2 $ 在 [0,2] 上勒贝格积分：

- 思想：按函数值大小分组，值在某个范围内的那些 x 的“长度”乘以那个函数值（的代表），再总和。
- 因为函数连续，结果和普通积分一样。
- 但勒贝格积分能处理很“奇怪”的函数（比如狄利克雷函数），黎曼积分做不了。

最终结果：
$$
\boxed{\frac{8}{3}}
$$

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