最后更新: 2025-11-27 09:06 查看: 94 次纠错评论(0) 课件开VIP

非负可测函数的积分

## 非负可测函数的积分
首先给出非负的简单函数积分的定义，它是所有各种情形积分定义的基础．

**定义4.1** 对于可测集 $E \subset R ^n$ 上的非负简单函数 $\varphi$ ，若其标准表示式为

$$
\boxed{
\varphi(x)=\sum_{i=1}^k c_i \chi_ {E_i}(x), \quad\left(x \in E=\bigcup_{i=1}^k E_i\right) ...(1)
}
$$

其中 $c_i$ 为非负实数，$E_i$ 为可测集，当 $i \neq j$ 时有 $E_i \cap E_j=\varnothing$ ，称广义实数 $\sum_{i=1}^k c_i m E_i$ （注意 $m E_i=\infty$ 时，适用关于 $\infty$ 的运算约定）为 $\varphi$ 在 $E$ 上的 **Lebesgue积分**，记为 （ $L$ ） $\int_E \varphi(x) d x$ ．在不致混淆时常略去积分号前的 $(L)$ ，即

$$
\boxed{
\int_{E} \varphi(x) d x=\sum_{i=1}^k c_i m E_i ...(2)
}
$$

由于 $\varphi$ 的标准表示是惟一确定的，所以简单函数的积分由被积函数及积分域完全确定，这也说明这个定义是合理的．

`例` 由定义易知，若 $E, F$ 可测，则

$$
\int_E \chi_E(x) d x=m(E), \quad \int_F \chi_E(x) d x=m(E \cap F)
$$

`例` $[0,1]$ 上的 Dirichlet 函数

$$
D(x)= \begin{cases}1, & \text { 当 } x \text { 为有理数, } \\ 0, & \text { 当 } x \text { 为无理数, }\end{cases}
$$

其 Lebesgue 积分 $\int_{[0,1]} D(x) d x=0$ ．
下面定理所反映的简单函数积分的性质都很容易证明，为了引用方便，还是明确列出。

## 积分的性质
**定理4.1** 若 $\varphi$ 和 $\psi$ 都是可测集 $E$ 上的非负简单函数，则有
（i） $0 \leqslant \int_{\varepsilon} \varphi(x) d x \leqslant \infty$ ；
（ii） $\int_{\varepsilon} c \varphi(x) d x=c \int_{\varepsilon} \varphi(x) d x$（ $c$ 为非负实数）；
（iii） $\int_{\varepsilon}(\varphi(x)+\psi(x)) d x=\int_{\varepsilon} \varphi(x) d x+\int_E \psi(x) d x$ ；
（iv）又若 $E=A \cup B, A \cap B=\varnothing, A, B \in B$ ，则

$$
\int_{\varepsilon} \varphi(x) d x=\int_A \varphi(x) d x+\int_B \varphi(x) d x ;
$$

$(v)$ 又若 $\varphi(x) \leqslant \psi(x)(x \in E)$ ，则

$$
\int_{\varepsilon} \varphi(x) d x \leqslant \int_E \psi(x) d x
$$

证明（i）和（ii）的证明显然，请读者把（ii）的证明写出来．
（iii）设 $\varphi$ 的标准表示如（1），$\psi$ 的标准表示为

$$
\psi(x)=\sum_{j=1}^1 d_j \chi_{E_j^*}(x)
$$

其中 $d_j \geqslant 0(j=1,2, \cdots, l), E_i^* \cap E_j^*=\varnothing($ 对任意 $i \neq j), \bigcup_{j=1}^1 E_j^*=E$ ．令 $E_{i j}=$ $E_i \cap E_j^*(i=1,2, \cdots, k, j=1,2, \cdots, l)$ ，则

$$
\begin{aligned}
& E_i=\bigcup_{j=1}^l E_i \cap E_j^*, \\
& E_j^*=\bigcup_{i=1}^k E_i \cap E_j^*
\end{aligned}
$$

且

$$
\chi_{\varepsilon_i}(x)=\sum_{j=1}^1 \chi_{\varepsilon_i \cap \varepsilon_j}(x), \quad \chi_{\varepsilon_j}(x)=\sum_{i=1}^k \chi_{\varepsilon_i \cap \varepsilon_j}(x),
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
\varphi(x)+\psi(x) & =\sum_{i=1}^k c_{\chi_{E_i}}(x)+\sum_{j=1}^l d_{\chi_{E_j^*}}(x) \\
& =\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l c_{\chi_{E_i \cap E_j}}(x)+\sum_{j=1}^l \sum_{i=1}^k d_{j \chi_{E_i \cap E_j}}(x) \\
& =\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l\left(c_i+d_j\right) \chi_{E_i \cap E_j}(x) .
\end{aligned}
$$

容易验证，上式是 $\varphi(x)+\psi(x)$ 的标准表示，故

$$
\int_{\varepsilon}(\varphi(x)+\psi(x)) d x=\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^t\left(c_i+d_j\right) m\left(E_i \cap E_j^*\right)
$$

$$
\begin{aligned}
& =\sum_{i=1}^k c_i \sum_{j=1}^l m\left(E_i \cap E_j^*\right)+\sum_{j=1}^l d_j \sum_{i=1}^k m\left(E_i \cap E_j^*\right) \\
& =\sum_{i=1}^k c_i m\left(E_i\right)+\sum_{j=1}^l d_j m\left(E_j^*\right) \\
& =\int_E \varphi(x) d x+\int_E \psi(x) d x
\end{aligned}
$$

（iv）因为 $\chi_E(x)=\chi_A(x)+\chi_B(x)$ ，
所以

$$
\varphi(x)=\varphi(x)\left(\chi_A(x)+\chi_B(x)\right)=\varphi(x) \chi_A(x)+\varphi(x) \chi_B(x),
$$

而显然

$$
\begin{aligned}
& \int_E \varphi(x) \chi_A(x) d x=\int_A \varphi(x) d x, \\
& \int_A \varphi(x) \chi_B(x) d x=\int_B \varphi(x) d x,
\end{aligned}
$$

由（iii）便得（iv）．
（v）的证明可用证（iii）时的集合运算来做，请读者把证明写出来．
由本定理的（ii），（iii）与例 1 知，对任意的简单函数

$$
\varphi(x)=\sum_{i=1}^k c_i \chi_{E_i}(x)
$$

（不管右式是否 $\varphi$ 的标准表示），皆有

$$
\int_E \varphi(x) d x=\sum_{i=1}^k c_i \int_E \chi_{E_i}(x) d x=\sum_{i=1}^k c_i m\left(E \cap E_i\right) .
$$

现在我们可以定义非负可测函数的积分了．

## 理解：非负简单可测函数的积分

勒贝格积分是通过值域划分来计算图形的面积，参考下图, 我们让$y_i$ 趋于正无穷大，那么，他的定义域可能包含多个点集，但是部分点集不在图形里。

![图片](/uploads/2025-11/ed8681.jpg){width=400px}
  
 
因此，首先定义了一个特征函数：

设 $E $ 是一个集合，$A $ 是 $E $ 的一个子集（即 $A \subset E $）。定义函数 $\chi_A: E \to \{0, 1\} $ 如下：
$$
\boxed{
\chi_A(x) = 
\begin{cases} 
1, & \text{如果 } x \in A \\
0, & \text{如果 } x \notin A 
\end{cases} ... \text{(特征函数)}
}
$$
这个函数 $\chi_A $ 就称为集合 $A $ 的**特征函数**。

**直观理解：**
特征函数就像一个“开关”或“检测器”。
*   当自变量 $x $ “落入”集合 $A $时，开关打开，函数值为 1。
*   当自变量 $ x$“落在”集合 $A $ 之外时，开关关闭，函数值为 0。
它唯一的作用就是**标记**某个元素是否属于指定的集合。

如果我们把曲线围城的面积想象一个巨大的仓库（全集 $E$），里面有很多货物（元素 $x$）。仓库被划分成不同的**货区（集合 $A$）**。
现在，我们为**特定货区 $A$** 安装一个**智能系统**，这个系统就是**特征函数 $\chi_A(x)$**：

*   **作用方式**：当你在仓库里巡查，走到任何一个货物（元素 $x$）面前时，这个货物对应的“智能指示灯”就会瞬间做出反应：
    *   如果货物 **在** 货区 $A$ 内（$x \in A$），指示灯亮起**亮（数值为1）**。
    *   如果货物 **不在** 货区 $A$ 内（$x \notin A$），指示灯显示** 灭（数值为0）**。
 
这有什么用？这样你再计算货物时，**只要计算灯亮的区域即可**。

参考上图计算面积，在$[a,b]$ 区域，不在集合$E$里，那么他的特征函数值为0，所以后期再累加面积时，加上的面积为零，相当于忽略了该面积的累加。

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