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勒贝格积分概述

## 勒贝格积分概述
本章进入 Lebesgue 积分这个本书的主题．我们采取的引入方法与绪论讲的形式上有些不同，但实质上是一样的．先回忆一下 黎曼Riemann 积分的引进．它是 Riemann 和的极限：

$$
\int_a^b f(x) d x=\lim _{\lambda \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k f\left(\xi_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)
$$

其中 $\left\{x_i\right\}$ 构成积分区间的一个分法，$x_{i-1} \leqslant \xi_i \leqslant x_i$ ．我们也可以从另一个角度来看这个极限，这就是把 Riemann 和看作阶梯函数的积分，因而**一般函数的积分便是阶梯函数积分的极限**．事实上，若令

$$
\varphi_k(x)= \begin{cases}f\left(\xi_i\right), & \text { 当 } x_{i-1} \leqslant x<x_i, \quad i=1,2, \cdots, k, \\ f(b), & \text { 当 } x=b .\end{cases}
$$

则 $\varphi_k(x)$ 是 $[a, b]$ 上的阶梯函数，它们的 Riemann 积分就是 $f$ 的 Riemann 和：

$$
\int_a^b \varphi_k(x) d x=\sum_{i=1}^k f\left(\xi_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)
$$

因此，我们也可以先定义阶梯函数的积分，然后再用它们的极限来定义一般函数的积分，从而建立等价的 Riemann 积分理论。这与直接定义 Riemann 积分为 Riemann 和的极限，是本质上一样而形式上不同的两种建立 Riemann 积分的方法． Lebesgue 积分也存在这样两种定义的方法．按绪论说的，Lebesgue 积分是下述积分和的极限
$$
\lim _{\delta \rightarrow 0} \sum_{i=1}^k y_{i-1} \operatorname{mes}\left(E_i\right),
$$

而其中 $\left\{y_i\right\}$ 是函数值域的一个分法．现在我们知道， $\operatorname{mes}\left(E_i\right)=m E_i$ ．与前面类似，这个和也可以看作是，在每个 $E_i$ 上等于 $y_{i-1}(i=1,2, \cdots, k)$ 的简单函数

$$
\varphi_k(x)=\sum_{i=1}^k y_{i-1} X _{E_i}(x)
$$

的积分．因此我们也可以先定义简单函数的积分，然后用简单函数积分的极限定义一般可测函数的 Lebesgue 积分．本书将采用这后一种方法，其优点是写起来会简明一些，但实质上是一样的．有兴趣的读者不妨在学完本章以后，尝试用绪论的方法，建立一个结果与本章相同的 Lebesgue 积分体系．

本章讲的 Lebesgue 积分与 Riemann 积分还有一点不同的是，Riemann 积分是把积分定义为 Riemann 和的极限，然后把使极限存在的函数称为 Riemann 可积的，再进一步给出可积的充分必要条件以及什么样的函数是 Riemann 可积的等等．而对 Lebesgue 积分，我们是对范围已经很广的可测函数定义积分．**先把函数 $f$ 分解为正部 $f^{+}$与负部 $f^{-}$之差，而对非负函数来说，相应逼近它的非负简单函数的积分总有极限，只是可能为 $+\infty$ 。把 $+\infty$ 的情形排除掉，这就是可积**．而对一般的可测函数，把它的积分定义为它的正部积分与负部积分之差，只要两者不都是 $+\infty$ ，积分就有意义（因为两个正的广义实数之差只有 $(+\infty)-(+\infty)$ 没有意义）。因此在可测函数这个很大的框架中，函数 Lebesgue 可积的条件已很明显，不必再像 Riemann 积分情形那样去详细讨论了。

Lebesgue 积分在现代数学中应用广泛，除了它满足完备化

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