最后更新: 2025-11-27 09:46 查看: 288 次纠错评论(0) 课件开VIP

勒贝格积分概述

## 勒贝格积分概述
本章进入 Lebesgue 积分这个本书的主题．我们采取的引入方法与绪论讲的形式上有些不同，但实质上是一样的．先回忆一下 黎曼Riemann 积分的引进．它是 Riemann 和的极限：

$$
\int_a^b f(x) d x=\lim _{\lambda \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k f\left(\xi_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)
$$

其中 $\left\{x_i\right\}$ 构成积分区间的一个分法，$x_{i-1} \leqslant \xi_i \leqslant x_i$ ．我们也可以从另一个角度来看这个极限，这就是把 Riemann 和看作阶梯函数的积分，因而**一般函数的积分便是阶梯函数积分的极限**．事实上，若令

$$
\varphi_k(x)= \begin{cases}f\left(\xi_i\right), & \text { 当 } x_{i-1} \leqslant x<x_i, \quad i=1,2, \cdots, k, \\ f(b), & \text { 当 } x=b .\end{cases}
$$

则 $\varphi_k(x)$ 是 $[a, b]$ 上的阶梯函数，它们的 Riemann 积分就是 $f$ 的 Riemann 和：

$$
\int_a^b \varphi_k(x) d x=\sum_{i=1}^k f\left(\xi_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)
$$

因此，我们也可以先定义阶梯函数的积分，然后再用它们的极限来定义一般函数的积分，从而建立等价的 Riemann 积分理论。这与直接定义 Riemann 积分为 Riemann 和的极限，是本质上一样而形式上不同的两种建立 Riemann 积分的方法． Lebesgue 积分也存在这样两种定义的方法．按绪论说的，Lebesgue 积分是下述积分和的极限
$$
\lim _{\delta \rightarrow 0} \sum_{i=1}^k y_{i-1} \operatorname{mes}\left(E_i\right),
$$

而其中 $\left\{y_i\right\}$ 是函数值域的一个分法．现在我们知道， $\operatorname{mes}\left(E_i\right)=m E_i$ ．与前面类似，这个和也可以看作是，在每个 $E_i$ 上等于 $y_{i-1}(i=1,2, \cdots, k)$ 的简单函数

$$
\varphi_k(x)=\sum_{i=1}^k y_{i-1} X _{E_i}(x)
$$

的积分．因此我们也可以先定义简单函数的积分，然后用简单函数积分的极限定义一般可测函数的 Lebesgue 积分．本书将采用这后一种方法，其优点是写起来会简明一些，但实质上是一样的．有兴趣的读者不妨在学完本章以后，尝试用绪论的方法，建立一个结果与本章相同的 Lebesgue 积分体系．

本章讲的 Lebesgue 积分与 Riemann 积分还有一点不同的是，Riemann 积分是把积分定义为 Riemann 和的极限，然后把使极限存在的函数称为 Riemann 可积的，再进一步给出可积的充分必要条件以及什么样的函数是 Riemann 可积的等等．而对 Lebesgue 积分，我们是对范围已经很广的可测函数定义积分．**先把函数 $f$ 分解为正部 $f^{+}$与负部 $f^{-}$之差，而对非负函数来说，相应逼近它的非负简单函数的积分总有极限，只是可能为 $+\infty$ 。把 $+\infty$ 的情形排除掉，这就是可积**．而对一般的可测函数，把它的积分定义为它的正部积分与负部积分之差，只要两者不都是 $+\infty$ ，积分就有意义（因为两个正的广义实数之差只有 $(+\infty)-(+\infty)$ 没有意义）。因此在可测函数这个很大的框架中，函数 Lebesgue 可积的条件已很明显，不必再像 Riemann 积分情形那样去详细讨论了。

Lebesgue 积分在现代数学中应用广泛，除了它满足完备化的要求外，还因为它有一系列灵活简便的运算性质，以及条件宽松的积分与极限或积分与积分交换次序的定理，使得用起来十分方便，对这一特点读者在学习中也应用心体会。

`例` 设 $A = [0,1] $，定义函数  
$$
f(x) = \begin{cases}
1, & x \in Q, \\
0, & x \notin Q.
\end{cases}
$$  
在区间 $[0,1]$ 上考虑勒贝格积分 $\int_{[0,1]} f \, d\mu$，其中 $\mu$ 是勒贝格测度。

解：这就是狄利克雷函数，当$x$取有理数时他的值为1，当$x$取无理数时，他的值为0。

**黎曼积分思想** 黎曼积分的思想是对$x$轴进行“分割、近似、求和、取极限”。在一个区间 $[a, b]$ 上，我们把它分成很多小区间，然后在每个小区间上任取一点，用这点的函数值乘以小区间的宽度来近似小矩形的面积，最后求和并让分割无限细。

但是，当你把黎曼思想用在狄利克雷函数上他就会失败。因为你对$x$无论分的多么细，在两个有理数之间都有无穷多个无理数，在两个无理数之间也有无穷多个有理数，换句话说，在$\Delta x \to 0$ 里，$y$值不断的乱蹦，所以黎曼积分根本没办法处理。当然严格的数学推理是

1.  **如果我们在每个小区间上都取一个有理数点**：
    *   那么所有取样点的函数值 $ D(x) = 1 $。
    *   黎曼和 = $ 1 \times (b-a) $。
    *   极限值 = $ b-a $。

2.  **如果我们在每个小区间上都取一个无理数点**：
    *   那么所有取样点的函数值 $ D(x) = 0 $。
    *   黎曼和 = $ 0 $。
    *   极限值 = $ 0 $。

**结论**：由于我们选择不同的取样点（有理数或无理数），黎曼和的极限会趋向于**两个不同的值**（$b-a$ 和 $0$）。因此，根据黎曼积分的定义，狄利克雷函数在任意区间 $[a, b]$ 上都是**黎曼不可积**的。

**勒贝格积分思想** 现在换一个视角，从$y$轴上看，既然函数值取值为1和0，那么

1.  看函数值 $y = 1 $ 的点集：这些点是有理数集。
    *   在实数轴上，有理数集是一个**零测集**，详见 [测度论例题1](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1913)。直观理解是，虽然有理数有无穷多个，但它们是“可数”的，并且可以被总长度任意小的区间族覆盖起来。所以这个点集的“长度”（勒贝格测度）为 0。
    *   这部分对积分的贡献是：$1 \times \text{测度} = 1 \times 0 = 0 $。

2.  看函数值 $y = 0 $ 的点集：这些点是无理数集。
    *   无理数集占据了区间 $[a, b]$ 的“全部长度”。它的测度就是区间的长度 $b-a$,详见 [测度论例题3](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1913)。
    *   这部分对积分的贡献是：$0 \times \text{测度} = 0 \times (b-a) = 0 $.
    
 $$
 \int_{[0,1]} f \, d\mu = 1 \cdot \mu(E_1) + 0 \cdot \mu(E_2) = 1 \times 0 + 0 \times 1 = 0.
$$

由此得到狄利克雷函数的勒贝格积分为零，
 
 ![图片](/uploads/2025-11/1c25b6.jpg){width=300px}

`例` 设 $A = [0,1] $，定义函数  
$$
f(x) = \begin{cases}
3, & x \in Q, \\
0, & x \notin Q.
\end{cases}
$$  
在区间 $[0,1]$ 上考虑勒贝格积分 $\int_{[0,1]} f \, d\mu$，其中 $\mu$ 是勒贝格测度。

解：参考上面的分析，勒贝格积分对非负简单函数（或可测函数）是：
$$
\int_{[0,1]} f \, d\mu = 2 \cdot \mu(E_1) + 0 \cdot \mu(E_2) = 2 \times 0 + 0 \times 1 = 0.
$$
可以得到其值仍然为零。
可以看到，不论有理数为什么值，他的积分都是零。

`例` 求$A=[0,1]$ 下面函数的积分
$$
f(x) = \begin{cases}
0, & x \in 有理数, \\
1, & x \in 无理数
\end{cases}
$$
积分$\int_{[0,1]} f \, d\mu$，其中 $\mu$ 是勒贝格测度。

解：和例1相比，这里修改了，当$x$为有理数时取0，为无理数取1。

将定义域按函数值分层
集合 $E_1 = Q$，其上 $f(x) = 0$。
集合 $E_2 = [0,1] \setminus Q$，其上 $f(x) = 1$。

计算各层测度
 $Q$ 是 $[0,1]$ 中的有理数集，可数，所以 $\mu(A) = 0$。
于是 $\mu(E_2) = \mu([0,1]) - \mu(A) = 1 - 0 = 1$。
 勒贝格积分
$$
\int_{[0,1]} f \, d\mu = 0 \cdot \mu(E_1) + 1 \cdot \mu(E_2) = 0 \times 0 + 1 \times 1 = 1.
$$

`例` 求$A=[0,1]$ 下面函数的积分
$$
f(x) = \begin{cases}
0, & x \in 有理数, \\
3, & x \in 无理数
\end{cases}
$$
积分$\int_{[0,1]} f \, d\mu$，其中 $\mu$ 是勒贝格测度。

解： 
 勒贝格积分
$$
\int_{[0,1]} f \, d\mu = 0 \cdot \mu(E_1) + 3 \cdot \mu(E_2) = 0 \times 0 + 3 \times 1 = 3.
$$

## 通俗解释

### 黎曼Riemann积分
黎曼积分在高等数学或者数学分析里，已经将了很多了，就是沿着$x$轴，无限切割曲线，然后计算器面积，这就是黎曼积分。

![图片](/uploads/2025-11/30935f.jpg){WIDTH=300PX}
 
### 勒贝格Lebesgue积分

Lebesgue 积分是用小于等于函数值的一些列横切，然后求sup来逼近

![图片](/uploads/2025-11/d7e6c8.jpg){WIDTH=300PX}
 
 
## 勒贝格积分的基本思路

勒贝格积分的基本思路和步骤是怎样的呢？大家知道，建立函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的黎曼积分的基本思路是：分割 $[a, b]$ 成小区间，作积分和，取极限。对有界可测函数而言，勒贝格积分的基本思路也是如此。正如本书第一篇引言中所说，不同的是：＂坚＂着分割区间 $[a, b]$ 改为＂横＂着分割值域 $[L, M]$ 。于是与黎曼积分和

$$
\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)
$$

相应的是勒贝格积分和

$$
\sum_{i=1}^n y_i m E\left(y_i \leqslant f \leqslant y_{i+1}\right)
$$

然后，当两种分割都越来越细的时候，两种积分和分别趋于黎曼积分和勒贝格积分。在许多实变函数教科书，都曾这样处理过。但是，正如大家在前几章看到的，可测函数不必有界，甚至可以取无穷大值，积分区域也可以有无穷大的测度，如果从有界情形开始处理，一步步推广，过程将很繁琐。
这时，通过重新审视黎曼积分和曲边梯形面积的关系，另一个建立勒贝格积分的思路浮现出来了。

首先，注意到曲边梯形的面积，当 $f(x) \geqslant 0$ 时，它为 0 或正；当 $f(x) \leqslant 0$ 时，它为 0 或负。因此，一般函数 $f(x)$ 所围曲边梯形的面积有正有负，最终的积分值是它们的代数和。这样一来，一旦可测函数 $f(x)$ 不是有界函数（没有上界和下界，甚至可以取无穷大值），最后的积分值就可能会出现 $\infty-\infty$ 的不定情形。为了避免这种情形的出现，在定义勒贝格积分时，第一步仅限于非负函数，是一个合理的选择。

其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积（即黎曼积分），实际上是一列＂阶梯函数＂所围成的小矩形面积之和的极限。阶梯函数是分割区间 $[a, b]$ 为小区间之后所形成的。对于勒贝格积分，将以＂可测集分割＂加以取代，形成所谓＂简单函数＂。这就是说，我们将积分区域（ $[a, b]$ 或一般的多维空间中的可测集 $E$ ）分为有限个两两不相交的可测子集 $E_i$ ，在 $E_i$ 上取值 $c_i$ ，构成一个函数：

$$
\sum_{i=1}^n c_i X_{E_i}(x) .
$$

于是，这种非负简单函数的积分是我们首先要处理的对象。这让我们又一次回忆起引言里提到的＂横着数＂的思想。 在下一节将从简单函数积分开始。

### 视频说明
详见视频介绍，来自 [b站](https://www.bilibili.com/video/BV1c4411d797/?vd_source=ce36ec6d3df912c631a78d26e9e63ed8)

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