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偏序关系

## 偏序关系
事物之间的次序是事物群体的重要特征，决定事物之间次序的还是它们之间的关系。本节目的是研究可用以对集合中元素进行排序的关系——次序关系，其中很重要的一类关系称为**偏序关系**。偏序的作用是用来排序（称偏序是因为 $A$ 上的所有元素不一定都能按此关系排序）。

### 2．7．1 偏序关系
**定义2．25** 设 $R$ 是非空集合 $A$ 上的关系，如果 $R$ 是自反、反对称和传递的，则称 $R$ 为 $A$ 上的**偏序关系**（partial ordered relations），记作 $\leqslant$ 。如果集合 $A$上有偏序关系 $R$ ，则称 $A$ 为偏序集，用序偶 $(A, R)$ 表示。若 $(x, y) \in \leqslant$ ，常记作 $x \leqslant y$ ，读作＂$x$ 小于等于 $y$＂。

注意：这里的＂小于或等于＂不是指元素数值的大小，而是指在偏序关系中的顺序性。＂$x$ 小于或等于 $y$＂的含义是：按照这个排序，$x$ 在 $y$ 的前边或 $x$ 和 $y$ 相等。

`例2.37` 设集合 $A=\{2,3,6,12,24,36\}$ ，定义在 $A$ 上的整除关系 $R$ 是偏序关系吗？

解：$R=\{(2,2),(3,3),(6,6),(12,12),(24,24),(36,36),(2,6),(2,12)$, $(2,24),(2,36),(3,6),(3,12),(3,24),(3,36),(6,12),(6,24),(6,36),(12$, $24),(12,36)\}$

显然，关系 $R$ 具有自反、反对称和传递性，因此，$R$ 是偏序关系。 $(2,6) \in \leqslant$ ，则 2 和 6 是可比的，即 2 在整除关系上排在 6 的前面。

`例2.38`实数集 $\mathbf{R}$ 上的＂$\leqslant$＂即小于或等于关系为偏序关系，$(\mathbf{R}, \leqslant)$ 表示偏序集。实数集 $\mathbf{R}$ 上的＂$\geqslant$＂即大于或等于关系也是偏序关系，$(\mathbf{R}, \geqslant)$ 也表示偏序集。 $7 \geqslant 6$ 可以写作 $7 \leqslant 6$ ，理解为在大于或等于偏序关系中， 7 排在 6 的前面，或说 7 比 6 大。

**定义2．26** 在偏序集（ $A, \leqslant$ ）中，
（1）对任意的 $a, b \in A$ ，若有 $a \leqslant b$ 或 $b \leqslant a$ ，则称 $a, b$ 是可比的。
（2）若 $a \leqslant b$ 且 $a \neq b$ ，且 $A$ 中不存在另一元素 $c$ 满足 $a \leqslant c$ 和 $c \leqslant b$ ，则称 $b$ 盖住 $a$ ，或称 $a$ 是 $b$ 的直接前趋，$b$ 是 $a$ 的直接后继。集合 $A$ 上的盖住关系 $\operatorname{cov}(A)$ 定义为

$$
\operatorname{cov}(A)=\{(a, b) \mid a, b \in A \text { 且 } b \text { 盖住 } a\}
$$

在例2． 37 中，集合 $A=\{2,3,6,12,24,36\}$ 上的整除关系 $R$ 是偏序关系。因为 $(2,6) \in R$ ，则称 2 和 6 是可比的，即 $2 \leqslant 6$ ；因为 2 不能整除 3 ，且 3 不能整除 2 ，所以 2 和 3 是不可比的。 $2 \leqslant 12$ ，但存在 6 ，使得 $2 \leqslant 6,6 \leqslant 12$ ，根据盖住的定义知，12没有盖住 2 。集合 $A$ 上的盖住关系 $\operatorname{cov}(A)=\{(2,6),(3,6),(6,12)$ ， $(12,24),(12,36)\}$ 。

###  2．7．2 哈斯图
偏序关系作为一种关系，也可以用关系图或关系矩阵来表示，这里主要介绍关系图的表示方法。由于偏序关系是自反的，各结点处均有自回路，约定全部略去；由于偏序关系是反对称的，关系图中任何两个不同结点之间不可能有相互到达的边或通路，约定边的向上方向为箭头方向，省略全部箭头；由于偏序关系具有传递性，由传递关系推定的边也省去。经过这种简化的具有偏序关系的关系图称为哈斯图（Hasse 图）。求解哈斯图的具体步骤如下：
（1）用小圆圈或实心点作为结点表示集合中的元素；
（2）自反性不在图中表示出来；
（3）$b$ 盖住 $a$ ，则 $a 、 b$ 用线段连接（ $b$ 在上方，$a$ 在下方）。
在例2． 37 中，集合 $A=\{2,3,6,12,24,36\}$ 上的盖住关系为：

$$
\operatorname{cov}(A)=\{(2,6),(3,6),(6,12),(12,24),(12,36)\}
$$

因此，哈斯图如图 2.6 所示。

![图片](/uploads/2026-05/881825.jpg)
 
`例2.39` 设 $S_{30}$ 表示 30 的所有因子作为元素构成的集合，请画出定义在 $S_{30}$上的整除关系的哈斯图。

解：$S_{30}=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$ ，则集合 $S_{30}$ 上的盖住关系为： $\operatorname{cov} S_{30}= \{(1,2),(1,3),(1,5),(2,6),(2,10),(3,6),(3,15),(5,10),(5,15),(6,30)$ ， $(10,30),(15,30)\}$ ，则哈斯图如图 2.7 所示。

![图片](/uploads/2026-05/27abe1.jpg)
 
 
 ## 2．7．3 特殊元素
利用偏序关系可以对集合中的元素进行比较或排序。在哈斯图中，各元素都处在不同的层次上，有的元素位置特殊，是偏序集合中的特殊元素，了解这些元素有助于对偏序集合进行深人分析。

**定义2．27** 设（ $A, \leqslant$ ）为偏序集，集合 $B \subseteq A$ ，
（1）若 $a \in B$ ，不存在其他元素 $x \in B$ ，使 $a \leqslant x$ ，则称 $a$ 为 $B$ 的极大元；
（2）若 $a \in B$ ，不存在其他元素 $x \in B$ ，使 $x \leqslant a$ ，则称 $a$ 为 $B$ 的极小元。
在例2．37的偏序集（ $A, \mid$ ）中，集合 $A$ 的极大元有两个： 24 和 36 ；极小元也有两个： 2 和3。从其哈斯图2．6清楚地看到，$A$ 的极大元是哈斯图中最上层的结点，$A$ 的极小元是哈斯图中最下层的结点。当集合 $B=\{2,3,6,12\}$ 时，其极大元为 12 ，极小元为 2 和 3 。因此，对极大（小）元有如下的结论：

极大元、极小元存在，但不唯一，它们之间不可比，并处在子集哈斯图的同一层次上，极大元在最高层，极小元在最低层。

**定义2．28** 设（ $A, \leqslant$ ）为偏序集，集合 $B \subseteq A$ ，
（1）若存在 $a \in B$ ，对集合 $B$ 中的任意元素 $x$ ，都有 $x \leqslant a$ ，则称 $a$ 为 $B$ 的最大元；
（2）若存在 $a \in B$ ，对集合 $B$ 中的任意元素 $x$ ，都有 $a \leqslant x$ ，则称 $a$ 为 $B$ 的最小元。

注意：在 $(A, \leqslant)$ 中，不一定存在最大元和最小元。
由以上的定义可以看出，最小元与极小元是不一样的。最小元是 $B$ 中最小的元素，它与 $B$ 中其他元素都可比；而极小元不一定与 $B$ 中元素都可比，只要没有比它更小的元素，它就是极小元。同理，最大元是 $B$ 中最大的元素，与 $B$ 中其他元素都可比；而极大元不一定与 $B$ 中元素都可比，只要没有比它更大的元素，它就是极大元。

在例2． 37 的偏序集（ $A, \mid$ ）中，集合 $B=\{2,3,6,12\}$ ，最大元为 12 ，但无最小元；当 $B=A$ 时，既无最大元也无最小元。在例2．39的偏序集（ $S_{30}, \mid$ ）中，集合 $A$ 的最大元为 30 ，最小元为 1 ；当 $B=\{1,3,5,15\}$ 时，最大元为 15 ，最小元为 1 。

**定理2．19** 设（ $A, \leqslant$ ）为偏序集，集合 $B \subseteq A$ ，若最大（小）元存在，则必是唯一的。

证明：假设 $a$ 和 $b$ 都是 $B$ 的最大元，则必然有

$$
a \leqslant b \text { 和 } b \leqslant a
$$

由偏序的反对称性，得 $a=b$ ，即最大元是唯一的。
同理可证，$B$ 的最小元如果存在必唯一。

**定义 2.29** 设 $(A, \leqslant)$ 为偏序集，集合 $B \subseteq A$ ，
（1）若存在 $a \in A$ ，对任意 $b \in B$ ，都有 $b \leqslant a$ ，则称 $a$ 是集合 $B$ 的上界；
（2）若存在 $a \in A$ ，对任意 $b \in B$ ，都有 $a \leqslant b$ ，则称 $a$ 是集合 $B$ 的下界。
在例2．37的偏序集（ $A, \mid$ ）中，当集合 $B=\{2,3,6,12\}$ 时，有上界 $12 、 24 、 36$ ，但没有下界；当集合 $B=\{6,12\}$ 时，有上界 $12 、 24 、 36$ 和下界 $2 、 3 、 6$ ；当集合 $B= \{2,3\}$ 时，有上界 $6,12,24,36$ ，但没有下界。

在哈斯图中，子集 $B$ 的上界是集合 $B$ 的任何结点经过向上的路径都能共同到达的结点；子集 $B$ 的下界是集合 $B$ 的任何结点经过向下的路径都能共同到达的结点。

注意：上下界未必存在，存在时又未必唯一。
**定义2． 30** 设（ $A, \leqslant$ ）为偏序集，集合 $B \subseteq A$ ，
（1）若 $a \in A$ 是集合 $B$ 的上界，对 $B$ 的每个上界 $x$ ，有 $a \leqslant x$ ，则称 $a$ 是集合 $B$ 的上确界；
（2）若 $a \in A$ 是集合 $B$ 的下界，对 $B$ 的每个下界 $x$ ，有 $x \preccurlyeq a$ ，则称 $a$ 是集合 $B$ 的下确界。

在例2．37的偏序集（ $A, \mid$ ）中，当集合 $B=\{2,3,6,12\}$ 时，上确界是 12 ，没有下界，所以没有下确界；当集合 $B=\{6,12\}$ 时，上确界是 12 ，下确界是 6 ；当集合 $B=\{2,3\}$ 时，上确界是 6 ，但没有下确界。

根据以上的定义可知，$B$ 的最小元一定是 $B$ 的下界，同时也是 $B$ 的下确界； $B$ 的最大元一定是 $B$ 的上界，同时也是 $B$ 的上确界。但反过来不一定正确，$B$的下界不一定是 $B$ 的最小元，因为它可能不是 $B$ 中的元素；同样的，$B$ 的上界也不一定是 $B$ 的最大元。

**定理 2.20** 设 $(A, \preccurlyeq)$ 为偏序集，集合 $B \subseteq A$ 。若上（下）确界存在，则必是唯一的。

证明：假设 $a \in A$ 和 $b \in A$ 都是 $B$ 的上确界，则必然有

$$
a \leqslant b \text { 和 } b \leqslant a
$$

由偏序的反对称性，有 $a=b$ ，即若上确界存在，必是唯一的。
同理可证，$B$ 的下确界如果存在也必唯一。

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