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函数的基本概念

函数是数学中最基本的概念之一。在高等数学中，函数的定义域和值域都在实数集上讨论，即自变量与函数值都是实数的函数。本章将这个概念推广到集合论中，将函数作为一种特殊的关系，从而使这个最基本的数学概念具有更普遍的意义。

## 3.1 函数及其分类

### 3．1．1 函数的定义
**定义3．1** 设 $f$ 是集合 $A$ 到 $B$ 的关系，满足下列两个条件：
（1）对每个 $a \in A$ ，必存在 $b \in B$ ，使得 $(a, b) \in f$ ——存在性条件；
（2）对每个 $a \in A$ ，只存在一个 $b \in B$ ，使得 $(a, b) \in f$ ——唯一性条件。
则称 $f$ 是集合 $A$ 到 $B$ 的函数或映射，记为 $f: A \rightarrow B$ 。当 $(a, b) \in f$ 时，通常记为 $b=f(a), b$ 称为 $a$ 在 $f$ 下的像，称 $a$ 为 $b$ 的原像。

需要注意的是，$f(a)$ 仅表示一个变值，但 $f$ 代表一个集合，因此，有 $f \neq f(a)$ ，不能混淆这两个概念。同时，在定义一个函数时，必须明确定义域、值域以及变换规则，且变换规则要覆盖定义域中所有的元素。

`例3.1` 设集合 $A=\{1,2,3\}$ ，集合 $B=\{a, b, c\}$ ，判断下列关系是否是函数：
（1）$f=\{(1, a),(2, b),(3, c)\}$ ；
（2）$f=\{(1, a),(1, b),(2, b),(2, c)\}$ ；
（3）$f=\{(1, a),(2, a),(3, c)\}$ 。
解：根据定义3．1可知，（1）和（3）满足存在性和唯一性条件，因此是函数； （2）不是函数，对于集合 $A$ 中的元素 1 对应集合 $B$ 的两个元素 $a$ 和 $b$ ，不满足唯一性，故不是函数。

`例3.2` 设集合 $A=\{a, b, c\}$ ，集合 $B=\{1,2,3,4\}$ ，考察图3．1中的关系是不是函数？

解：（1）在关系 $f_1$ 中，元素 $b \in A$ 没有原像，不满足存在性条件，所以关系 $f_1$不是函数；
（2）在关系 $f_2$ 中，元素 $b \in A$ 与 $B$ 中的元素 2 和 4 有关系，不满足唯一性条 件，所以关系 $f_2$ 不是函数；
（3）关系 $f_3$ 既满足存在性条件，又满足唯一性条件，所以是函数。
从图3．1可以看出，函数定义的两个条件反映到关系图中具有如下特点：
（1）关系图中的所有有向边，其起点在集合 $A$ 中，终点在集合 $B$ 中；
（2）集合 $A$ 中的每个元素是且只是一条有向边的起点；
（3）集合 $B$ 中的元素可能是一条或多条有向边的终点，也可能不是。

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与关系一样，函数 $f: A \rightarrow B$ 有定义域与值域，一般用 $D_f$ 表示函数 $f$ 的定义域，用 $C_f$ 表示函数 $f$ 的值域。根据函数的定义知，$D_f=A, C_f \subseteq B$ 。

**定义 3.2** 设有函数 $f: A \rightarrow B, g: C \rightarrow D$ ，若有 $A=C, B=D$ 且对任意的 $a \in A$ ，均有 $f(a)=g(a)$ ，则称函数 $f$ 和 $g$ 相等，记作 $f=g$ 。

**定义3．3** 设 $A, B$ 是非空集合，所有从 $A$ 到 $B$ 的函数记作 $B^A$（读作＂$B$ 上 $A$＂），符号化为 $B^A=\{f \mid f: A \rightarrow B\}$ 。

**定理3．1** 设 $A, B$ 是非空有限集合，则从 $A$ 到 $B$ 共有 $|B|^{|A|}$ 个不同的函数。

证明：设 $|A|=n,|B|=m$ 。函数 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的任一函数，并且 $f$ 由 $A$中的 $n$ 个元素的取值唯一确定。对于 $A$ 中的任一元素，$f$ 在该元素处的取值都有 $m$ 种可能，因此从 $A$ 到 $B$ 可以定义 $m \cdot m \cdot \cdots \cdot m=m^n=|B|^{|A|}$ 个不同的函数。

`例3.3` 设集合 $A=\{1,2\}, B=\{a, b, c\}$ ，则从 $A$ 到 $B$ 共有 9 个函数，分别表示为：

$$
\begin{aligned}
& f_1=\{(1, a),(2, a)\} ; f_2=\{(1, a),(2, b)\} ; f_3=\{(1, a),(2, c)\} ; \\
& f_4=\{(1, b),(2, a)\} ; f_5=\{(1, b),(2, b)\} ; f_6=\{(1, b),(2, c)\} ; \\
& f_7=\{(1, c),(2, a)\} ; f_8=\{(1, c),(2, b)\} ; f_9=\{(1, c),(2, c)\},
\end{aligned}
$$

因为函数是一种特殊的关系，所以一个函数确定一个关系；但一个关系不一定确定一个函数。例如在例 3.3 中，从 $A$ 到 $B$ 共有 64 个不同的关系，但仅有 9个不同的函数。

### 3．1．2 函数的分类
函数作为一种关系，也可以进行分类。如果从函数的最基本性质出发，可以把函数分为单射函数、满射函数和双射函数。

**定义 3.4** 设 $f: A \rightarrow B$ 是一个函数：
（1）对任意的 $a_1$ 和 $a_2 \in A$ ，若 $a_1 \neq a_2$ ，均有 $f\left(a_1\right) \neq f\left(a_2\right)$ ，则称 $f$ 为 $A$ 到 $B$的单射函数或一对一函数；否则，称 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 的多对一函数。
（2）如果对任意的 $b \in B$ ，均有 $a \in A$ ，使 $b=f(a)$ ，即 $C_f=B$ ，则称 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 的满射；否则，称 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 的内射。
（3）如果 $f$ 既是 $A$ 到 $B$ 的单射，又是 $A$ 到 $B$ 的满射，则称 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 的双射函数或一一对应函数。特殊的，在一一对应函数 $f: A \rightarrow B$ 中，若 $A=B$ ，则此函数叫作 $A$ 的变换。

由定义3．4可知，当集合 $A, B$ 为有限集时，有
（1）$f: A \rightarrow B$ 是单射的必要条件为 $|A| \leqslant|B|$ ；
（2）$f: A \rightarrow B$ 是满射的必要条件为 $|A| \geqslant|B|$ ；
（3）$f: A \rightarrow B$ 是双射的必要条件为 $|A|=|B|$ 。
图3．2说明了单射、满射和双射这三类函数之间的关系。注意，既非单射又非满射的函数是大量存在的。

![图片](/uploads/2026-05/527f41.jpg)
 
`例3.4`判断图3．3中函数的类型。
解：根据定义 3.4 可知，
（1）从图3．1（a）中可以看出，$C_{f_1}=B$ ，所以，$f_1$ 为 $A$ 到 $B$ 的满射；对于元素 $b$和 $c$ ，有 $f_1(b)=f_1(c)$ ，所以，$f_1$ 非单射，而是多对一函数。
（2）从图3．1（b）中可以看出，$C_{f_2} \neq B$ ，所以，$f_2$ 非满射，而是 $A$ 到 $B$ 的内射；对于元素 $b$ 和 $c$ ，有 $f_2(b)=f_2(c)$ ，所以，$f_2$ 非单射，而是多对一函数。
（3）从图3．1（c）中可以看出，$C_{f_3} \neq B$ ，所以，$f_3$ 非满射，而是 $A$ 到 $B$ 的内射；对于集合 $A$ 中不同的元素，在集合 $B$ 中有不同的像，所以，$f_3$ 为单射。
（4）从图 3．1（d）中可以看出，$C_{f_4}=B$ ，所以，$f_4$ 为 $A$ 到 $B$ 的满射；对于集合

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 $A$ 中不同的元素，在集合 $B$ 中有不同的像，所以，$f_4$ 为单射；因此，$f_4$ 为双射。
例 3.5 以下函数均定义在实数集上，判断各函数类型。
（1）指数函数 $y=5^x$ 是单射而非满射函数；
（2）多项式函数 $y=a x^3+b x^2+c x+d(a \neq 0)$ 是满射而非单射函数；
（3）线性函数 $y=a x+b(a \neq 0)$ 既是单射又是满射，所以是双射函数。

**定义 3.5** 设 $R$ 是定义在非空集合 $A$ 上的等价关系，函数 $f: A \rightarrow A / R$ ， $f(a)=[a]_R$ ，其中 $[a]_R$ 是 $a$ 关于 $R$ 的等价类，则称 $f$ 为从 $A$ 到 $A / R$ 的自然映射。

显然，自然映射是一个满射。但是当等价关系不是恒等关系时，自然映射都不是单射。

`例3.6` 设 $A=\{1,2,3\}$ ，等价关系 $R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)$ ， $(2,1)\}$ ，写出从 $A$ 到商集 $A / R$ 的自然映射。

解：从 $A$ 到商集 $A / R$ 的自然映射 $f: A \rightarrow A / R, f(1)=f(2)=\{1,2\}, f(3)=$ \｛3\}。

### 3．1．3 特殊函数
定义 3.6 设 $f: A \rightarrow B$ 是一个函数，若对任意的 $a \in A$ ，均有 $f(a)=b$ ， $b \in B$ ，则称 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的常值函数或常函数。

例3．7 设 $f: A \rightarrow B$ 是一个函数，$A=\{a, b, c, d\}, B=\{1,2,3\}, f=\{(a, 2)$ ， $(b, 2),(c, 2),(d, 2)\}$ ，则 $f$ 是一个常函数。

定义 3.7 设 $f: A \rightarrow A$ 是一个函数，若对任意的 $a \in A$ ，均有 $f(a)=a$ ，则称 $f$ 是 $A$ 上的恒等函数。

定义 3.8 设 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 是一个函数，其中 $\mathbf{R}$ 为实数集，

（1）对任意 $a, b \in \mathbf{R}$ ，若 $a<b$ ，必有 $f(a) \leqslant f(b)$ ，则称 $f$ 为单调递增函数；
（2）对任意 $a, b \in \mathbf{R}$ ，若 $a<b$ ，必有 $f(a)<f(b)$ ，则称 $f$ 为严格单调递增函数。

可类似定义单调递减函数与严格单调递减函数。
例 3.8 设函数 $f(n)=n+1$ ，其中 $n$ 为自然数，则此函数是一个严格单调递增函数。

定义3．9 设 $U$ 是全集，且 $A \subseteq U$ ，函数 $\psi_A: U \rightarrow\{0,1\}$ 定义为：

$$
\psi_A(a)= \begin{cases}1 & a \in A \\ 0 & a \notin A\end{cases}
$$

则称 $\psi_A$ 是集合 $A$ 的特征函数。
由特征函数的定义可知，集合 $A$ 的每一个子集都对应一个特征函数，不同的子集对应不同的特征函数。因此，可以利用特征函数来标识集合 $A$ 的不同子集，及利用特征函数建立函数与集合之间的一一对应关系，有利于用计算机去解决集合中的问题。

例3．9 设 $U=\{a, b, c, d\}, A=\{a, b\}$ ，则 $A$ 的特征函数为

$$
\begin{aligned}
& \psi_A(a)=\psi_A(b)=1 \\
& \psi_A(c)=\psi_A(d)=0
\end{aligned}
$$

## 其他版本教程
首先，我们基于上一章给出的关系的定义来定义函数。
定义3．1 设 $A$ 和 $B$ 是两个任意集合，$f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的二元关系。若 $f$ 具有如下性质：
（1）$f$ 的定义域 $\operatorname{Dom} f=A$ ；
（2）如果 $(a, b),\left(a, b^{\prime}\right) \in f$ ，则 $b=b^{\prime}$ 。
则称关系 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的函数，记为 $f: A \rightarrow B$ ；并称 $b$ 为 $a$ 的象，$a$ 为 $b$ 的原象，记为 $b=f(a) 。 f$ 的值域记为 $R_f$ 。也可以称 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的映射。

从定义 3.1 可知，函数是一种特殊的关系：如果 $f$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的二元关系，为了使 $f$ 也是一个函数，$f$ 的定义域必须等于 $A$ ，并且 $A$ 中的每个元素只能与 $B$ 中的一个元素有关系 $f$ 。

例3．1 设 $A=\{1,2,3,4\}, B=\{a, b, c\}$ ，再设从 $A$ 到 $B$ 的二元关系 $R_1=\{(1, a),(2, b)$ ， $(3, c)\}, R_2=\{(1, a),(1, b),(2, b),(3, c),(4, c)\}, R_3=\{(1, a),(2, b),(3, b),(4$ ， a）$\}$ ；则根据定义 3．1， $\operatorname{Dom} R_1=\{1,2,3\} \neq A$ ，所以 $R_1$ 不是函数； $\operatorname{Dom} R_2=\{1,2,3,4\}=A$ ，但 $(1, a) \in R_2,(1, b) \in R_2$ ，故 $R_2$ 也不是函数；而 $R_3$ 是函数。

定义 3.2 设函数 $f: A \rightarrow B, X \subseteq A, Y \subseteq B$ ，定义 $f( X )=\{f(a) \mid a \in X\}$ ，称 $f(X)$ 是在 $f$ 下 $X$ 的象。 $f$ ${ }^{-1}(Y)=\{a \in A \mid f(a) \in Y\}$ ，称 $f^{-1}(Y)$ 是在 $f$ 下 $Y$ 的原象。

例 3.2 设 $A=\{1,2,3\}, B=\{a, b, c, d\}, g=\{(1, a),(2, c),(3, c)\}$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个函数。并设 $S=\{1\}, T=\{1,3\}, U=\{a\}, V=\{a, c\}$ 。则 $g(S)=\{a\}, g(T)=\{a, c\}, g^{-1}(U)=\{1\}$ ， $g^{-1}(V)=\{1,2,3\}$ 。

在函数定义的基础上，我们定义几个特殊的函数。

定义3．3（1）设函数 $f: A \rightarrow B$ ，若 $R_f=B$ ，则称 $f$ 为满射，或称 $f$ 为到上的。（2）设函数 $f: A \rightarrow B$ ，若 $a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2$ 有 $f\left(a_1\right) \neq f\left(a_2\right)$ ，则称 $f$ 为内射，或称 $f$ 为一对一的。（3）设函数 $f: A \rightarrow B$ ，若 $f$ 是满射，又是内射，则称 $f$ 为双射，或称 $f$ 为一一对应的。

例3．3 设 $A=\{a, b, c, d\}, B=\{1,2,3,4\}, f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的函数。
（1）$f=\{(a, 1),(b, 2),(c, 3),(d, 2)\}$ ；
（2）$f=\{(a, 1),(b, 3),(c, 4),(d, 2)\}$ 。

问 $f$ 是满射还是内射？
显然，（1）$f$ 不是满射，也不是内射；（2）$f$ 是满射，又是内射，所以 $f$ 是双射。
现在我们来讨论在有限集的条件下，从集合 $A$ 到集合 $B$ 可以定义多少个不同的函数。
从关系来讲，$A \times B$ 的子集都是从 $A$ 到 $B$ 的关系，所以从集合 $A$ 到集合 $B$ 的二元关系个数是 $2^{|A||B|}$ ，但根据定义3．1，$A \times B$ 的子集不一定是从 $A$ 到 $B$ 的函数。

设 $|A|=m,|B|=n$ ，因为对 $A$ 中 $m$ 个元素的任一个元素 $a$ ，可在 $B$ 的 $n$ 个元素中任取一个元素作为 $a$ 的象，因此从 $A$ 到 $B$ 的函数有 $n^m$ 个。用 $B^A$ 表示从 $A$ 到 $B$ 的函数全体所组成的集合，则 $\left|B^A\right|=$ $n^m$ 。

下面给出函数相等的定义。
定义3．4 设函数 $f: A \rightarrow B, g: A \rightarrow B$ ，若对于任意的 $a \in A$ ，有 $f(a)=g(a)$ ，则称函数 $f$和 $g$ 相等，记为 $f=g$ 。

例 3.4 在实数范围内，$f(x)=x+1, g(x)=x(x+l) / x$ 。则对 $x=0, f(0)=1$ ，而 $g$ 在 0处没有定义，所以 $f \neq g$ 。

由例 3.4 可知，两个函数是否相等必须考察它们的定义域是否相同。

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