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逆函数与复合函数

## 3.2 复合函数与逆函数

因为函数是一种特殊的关系，因此关系的复合运算及逆运算也适用于函数，即函数也可以进行复合运算与逆运算。

### 3．2．1 复合函数
**定义3．10** 设函数 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z$ ，则 $f$ 与 $g$ 的复合函数是一个由 $X$ 到 $Z$ 的函数，记作 $g \circ f: X \rightarrow Z$ ，符号化表示为

$$
g \circ f=\{(x, z) \mid x \in X, z \in Z \text {, 且存在 } y \in Y \text {, 使 } y=f(x), z=g(y)\}
$$

值得注意的是，函数复合与关系复合的符号表示顺序是相反的。当把 $f$ 和 $g$ 看作二元关系时，其复合关系记为 $f \circ g$ ；但当把 $f$ 和 $g$ 看作函数时，其复合函数记作 $g \circ f$ 。复合函数之所以采用这样的记法，是为了便于进行函数的复合运算。采用这样的记法，使得：

$$
g \circ f(x)=g(f(x))
$$

`例3.10` 设 $f, g$ 均为实数集上的函数，$f(x)=x+1, g(x)=x^2+1$ ，则

$$
g \circ f(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2+1=x^2+2 x+2
$$

而

$$
f \circ g(x)=f(g(x))=f\left(x^2+1\right)=x^2+1+1=x^2+2
$$

一般的，复合函数不满足交换律，即 $g \circ f \neq f \circ g$ 。由于二元关系的复合运算满足结合律，所以函数的复合运算也满足结合律，有下面的定理。

**定理 3.2** 设函数 $f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C$ 和 $h: C \rightarrow D$ ，则有

$$
h \circ(g \circ f)=(h \circ g) \circ f
$$

证明：$h \circ(g \circ f)$ 和 $(h \circ g) \circ f$ 都是 $A$ 到 $D$ 的函数，对任意的 $a \in A$ ，有

$$
h \circ(g \circ f)(a)=h \circ(g \circ f(a))=h(g f(a))=(h \circ g) \circ(f(a))=(h \circ g) \circ f(a)
$$

由于元素的任意性，有 $h \circ(g \circ f)=(h \circ g) \circ f$ 。
下面讨论内射、满射和双射的复合函数。
**定理 3.3** 设函数 $f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C$ ，则
（1）若 $f$ 和 $g$ 是满射，则 $g \circ f: A \rightarrow C$ 是满射；
（2）若 $f$ 和 $g$ 是单射，则 $g \circ f: A \rightarrow C$ 是单射；
（3）若 $f$ 和 $g$ 是双射，则 $g \circ f: A \rightarrow C$ 是双射。

证明：（1）对于任意的 $c \in C$ ，因为 $g$ 是满射，必存在 $b \in B$ ，使得 $c=g(b)$ 。而对于 $b \in B$ ，因为 $f$ 是满射，必存在 $a \in A$ ，使得 $b=f(a)$ 。于是
$(g \circ f)(a)=g(f(a))=g(b)=c$ 因此，$g \circ f$ 是满射。
（2）对于任意的 $a, b \in A$ ，如果 $a \neq b$ ，则 $f(a) \neq f(b)$ 。又因为 $g$ 是单射，所以 $g(f(a)) \neq g(f(b))$ ，因此 $g \circ f$ 是单射。
（3）因为 $f$ 和 $g$ 是双射，则 $f$ 与 $g$ 既是单射又是满射，由（1）和（2）可知， $g \circ f$ 既是单射又是满射，即 $g \circ f$ 是双射。

**定理 3.4** 设函数 $f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C$ ，则
（1）若 $g \circ f$ 是满射，则 $g$ 是满射；
（2）若 $g \circ f$ 是单射，则 $f$ 是单射；
（3）若 $g \circ f$ 是双射，则 $g$ 是满射且 $f$ 是单射。
证明：（1）对于任意的 $c \in C, g \circ f$ 是满射，则存在 $a \in A$ ，使得 $c=g \circ f(a)$ ，即 $c=g(f(a))$ 。因此，有 $b=f(a) \in B$ ，使得 $c=g(b)$ ，因此，$g$ 是满射。
（2）对于 $a, b \in A$ ，如果 $f(a)=f(b)$ ，则有 $g(f(a))=g(f(b))$ ，即 $g \circ f(a)= g \circ f(b)$ 。由于 $g \circ f$ 是单射，所以 $a=b$ ，即 $f$ 是单射。
（3）$g \circ f$ 是双射，即 $g \circ f$ 既是满射又是单射，由（1）和（2）可知，$g$ 是满射且 $f$是单射。

**定理 3.5** 设有函数 $f: A \rightarrow B$ ，则 $f^{\circ} I_A=I_B \circ f=f$ 。
证明：任取 $a \in A$ ，有 $I_A(a)=a$ 。设 $f(a)=b(b \in B)$ ，则 $f \circ I_A(a)= f\left(I_A(a)\right)=f(a)=b$ 。由 $a$ 的任意性，有 $f \circ I_A=f$ 。同理可证 $I_B \circ f=f$ 。

###  3．2．2 逆函数
在关系中，任一关系均存在逆关系，但对于函数 $f$ ，把 $f$ 看作二元关系时，其逆关系不一定是函数。

例如，$A=\{a, b, c\}, B=\{1,2,3,4\}, f$ 是 $A$ 到 $B$ 的函数，且 $f(a)=1$ ， $f(b)=1, f(c)=2$ 。如果把 $f$ 写成二元关系的形式：$f=\{(a, 1),(b, 1),(c, 2)\}$ ，其逆关系为： $\bar{f}=\{(1, a),(1, b),(2, c)\}$ 。显然，逆关系 $\bar{f}$ 不满足唯一性和存在性条件，不是函数。

由此可见，函数 $f: A \rightarrow B$ ，若存在逆函数 $f^{-1}: B \rightarrow A$ ，则必须满足：
（1）对任意的 $a \in A$ ，必有唯一的 $b \in B$ 与之对应；
（2）对任意的 $b \in B$ ，必有唯一的 $a \in A$ 与之对应。即此函数是一一对应的。因此，可定义逆函数如下。

**定义3．11** 设 $f: A \rightarrow B$ 是一一对应的函数，则 $f$ 的逆关系称为它的逆函数，记成 $f^{-1}: B \rightarrow A$ 。这时称函数 $f$ 是可逆的。

`例3.11` 设 $f: \mathbf{R \rightarrow} \mathbf{R}, f=\{(x, x+1) \mid x \in \mathbf{R}\}$ ，而 $\mathbf{R}$ 为实数集。由于此函数是一一对应的，故存在逆函数 $f^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f^{-1}=\{(x+1, x) \mid x \in \mathbf{R}\}$ 。

函数的逆函数具有下面一些重要性质。

**定理 3.6** 设 $f: A \rightarrow B$ 是双射，则有 $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ 。
证明：$f: A \rightarrow B$ 是双射，则 $\left(f^{-1}\right)^{-1}$ 是 $A$ 到 $B$ 的双射。
对任意的 $a \in A$ ，有 $b \in B$ ，使 $f(a)=b$ ，则 $f^{-1}(b)=a$ 。因此 $\left(f^{-1}\right)^{-1}(a)= b$ ，于是 $f(a)=\left(f^{-1}\right)^{-1}(a)$ 。由于 $a$ 的任意性，因此 $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ 。

**定理 3.7** 设函数 $f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C$ ，且 $f$ 和 $g$ 都是可逆的，则

$$
(g \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}
$$

证明：显然，$(g \circ f)^{-1}$ 和 $f^{-1} \circ g^{-1}$ 都是从 $C$ 到 $A$ 的双射。
对任意 $c \in C$ ，存在 $b \in B$ 与 $a \in A$ ，使得 $g^{-1}(c)=b, f^{-1}(b)=a$ ，则

$$
\left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)(c)=f^{-1}\left(g^{-1}(c)\right)=f^{-1}(b)=a
$$

另外，$(g \circ f)(a)=g(f(a))=g(b)=c$ 。因此，$(g \circ f)^{-1}(c)=a$ 。由于 $c$ 的任意性，有 $(g \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}$ 。

## 另版本
### 逆函数
任何关系都存在逆关系，因为函数也是关系，所以函数也存在逆关系，那么函数的逆关系是否也是函数呢？

例3．5 设 $A=\{1,2,3\}, B=\{a, b\}$ 。则 $f: A \rightarrow B, f=\{(1, a),(2, b),(3, b)\}$ 是函数，其逆关系 $f^{-1}=\{(a, 1),(b, 2),(b, 3)\}$ ，由于 $(b, 2) \in f^{-1}$ 并且 $(b, 3) \in f^{-1}$ ，所以 $f^{-1}$ 不符合函数的定义，不是函数。

由例 3.5 可知，函数的逆关系不一定是函数。
如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的双射，则 $f$ 的逆关系是从 $B$ 到 $A$ 的函数（证明留作习题）。于是定义逆函数如下。

定义 3.5 设函数 $f: A \rightarrow B$ 是双射，$f$ 的逆关系称为 $f$ 的逆函数，$f^{-1}: B \rightarrow A$ 。若记 $f(a)=b$ ，则记 $f^{-1}(b)=a$ 。

那么 $f$ 是双射，其逆函数 $f^{-1}$ 是否也是双射呢？
定理 3.1 若函数 $f: A \rightarrow B$ 是双射，则 $f^{-1}: B \rightarrow A$ 也是双射。
证明：由定义3．5，$f^{-1}$ 是 $f$ 的逆函数。首先证明 $f^{-1}: B \rightarrow A$ 是满射，即证明对任意 $a \in A$ ，存在 $b \in B$ ，使得 $f^{-1}(b)=a$ 。设 $f=\{(a, b) \mid a \in A, b \in B, f(a)=b\}, f^{-1}=\{(b, a) \mid(a, b) \in f\}$ 。因为对于每一个 $a \in A$ ，必定存在 $b \in B$ ，使 $(a, b) \in f$ ，从而对每一个 $a \in A$ ，都有 $(b, a) \in f^{-1}$ ，即 $f^{-1}(b)= a$ ，所以 $f^{-1}: B \rightarrow A$ 是满射。

再证明 $f ^{-1}: B \rightarrow A$ 是内射，即证明对于任意的 $b_1, b_2 \in B$ ，当 $b_1 \neq b_2$ 时，$f^{-1}\left(b_1\right) \neq f^{-1}\left(b_2\right)$ 。若 $f$ ${ }^{-1}\left(b_1\right)=a, f^{-1}\left(b_2\right)=a$ ，则 $f(a)=b_1, f(a)=b_2$ 。又因为 $f: A \rightarrow B$ 是函数，所以 $b_1=b_2$ 。所以 $f^{-1}: B \rightarrow A$是内射。

所以 $f^{-1}: B \rightarrow A$ 是双射。

由上所述，$f: A \rightarrow B$ 是双射，那么 $f^{-1}: B \rightarrow A$ 是双射，此时又称 $f$ 是可逆函数。
定理 3.2 若 $f: A \rightarrow B$ 是双射，则 $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ 。
证明留作习题。
复合函数
我们曾讨论过关系的复合运算，因为函数是一种特殊的关系，所以我们首先论证两个函数的复合关系是否是函数。我们有下面的定理。

定理 3.3 设函数 $g: A \rightarrow B, f: B \rightarrow C$ ，则从 $A$ 到 $C$ 的复合关系 $g \circ f$ 是从 $A$ 到 $C$ 的函数。
证明：因为 $g \circ f$ 是从 $A$ 到 $C$ 的复合关系，根据定义3．1，首先要证明在 $A$ 中的任一元素，都有 $C$ 中的元素与之对应；然后再证明对 $A$ 中的每个元素，都只对应 $C$ 中的一个元素。

对任意的 $a \in A$ ，因为 $g$ 是从 $A$ 到 $B$ 的函数，所以存在 $b \in B$ ，使得 $(a, b) \in g$ ；又因为 $f$ 是从 $B$ 到 $C$ 的函数，所以对于 $b$ ，存在 $c \in C$ ，使得 $(b, c) \in f$ ；根据关系复合的概念，$(a, c) \in g \circ f$ 。

对任意的 $a \in A$ ，若有 $x, y \in C$ ，使得 $(a, x) \in g \circ f,(a, y) \in g \circ f$ ，则根据复合关系概念，存在 $b_1 \in B$ ，使得 $\left(a, b_1\right) \in g,\left(b_1, x\right) \in f$ ；同样由于 $(a, y) \in g \circ f$ ，根据复合关系概念，存在 $b_2 \in B$ ，使得 $\left(a, b_2\right) \in g,\left(b_2, y\right) \in f$ ；因为 $b_1, b_2 \in B,\left(a, b_1\right) \in g,\left(a, b_2\right) \in g$ ，并且 $g$ 是函数，所以 $b_1=b_2$ ；又因为 $x, y \in C,\left(b_1, x\right) \in f,\left(b_1, y\right) \in f$ ，而 $f$ 也是函数，所以 $x=y$ 。

因此从 $A$ 到 $C$ 的复合关系 $g \circ f$ 是函数。
我们称这样的函数为复合函数。定义如下。

定义3．6 设函数 $g: A \rightarrow B, f: B \rightarrow C$ ，称复合关系 $g \circ f$ 是从 $A$ 到 $C$ 的复合函数，记为 $f \circ g$ ： $A \rightarrow C$ 。对 $a \in A$ ，有 $(f \circ g)(a)=f(g(a))$ 。

这里要注意复合函数与复合关系的记法不同，复合函数采用函数习惯记法，要将变元放在函数记号的右侧，即 $(f \circ g)(a)=f(g(a))$ 。所以用记号 $f \circ g$ ，而不用 $g \circ f$ 。

例3．6 $A=\{1,2,3\}, f, ~ g$ 是集合 $A$ 到 $A$ 的函数。 $g=\{(1,2),(2,1),(3,3)\}, f=\{(1$ ， $2),(2,3),(3,1)\} \circ$ 则 $f \circ g=\{(1,3),(2,2),(3,1)\}, g \circ f=\{(1,1),(2,3),(3,2)\} \circ$由例 3.6 可知，在一般情况下，$f \circ g \neq g \circ f$
函数的复合和关系的复合一样，是满足结合律的。我们有下面的定理。
定理 3.4 设函数 $g: A \rightarrow B, f: B \rightarrow C, h: C \rightarrow D$ ，则 $(h \circ f) \circ g=h \circ(f \circ g)$
证明留作习题。
定理 3.5 设函数 $g: A \rightarrow B, f: B \rightarrow C, f \circ g: A \rightarrow C$ ，则
（1）若 $f$ 和 $g$ 是满射，则 $f \circ g$ 是满射。
（2）若 $f$ 和 $g$ 是内射，则 $f \circ g$ 是内射。
（3）若 $f$ 和 $g$ 是双射，则 $f \circ g$ 是双射。
证明：（1）要证明 $f \circ g$ 满射，就是要根据定义 3.3 ，证明对于 $C$ 中每个元素，都有 $A$ 中元素与之对应。对任意的 $c \in C$ ，因为 $f$ 是满射，所以存在 $b \in B$ ，使得 $f(b)=c$ 。又因为 $g$ 是满射，所以存在 $a \in A$ ，使得 $g(a)=b$ 。则 $f \circ g(a)=f(g(a))=f(b)=c$ ，所以 $f \circ g$ 是满射。
（2）同理，要证明 $f \circ g$ 内射，就是要根据定义 3.3 ，证明当 $a \neq b$ 时，$f \circ g(a) \neq f \circ g(b)$ 。对任意的 $a, \in A$ ，若 $a \neq b$ ，则因为 $g$ 是内射，所以 $g(a) \neq g(b)$ 。又因为 $f$ 是内射，所以当 $g(a) \neq g(b)$时，$f(g(a)) \neq f(g(b))$ ，即 $f \circ g(a) \neq f \circ g(b)$ ，所以 $f \circ g$ 是内射。
（3）因为 $f$ 和 $g$ 是双射，所以 $f$ 和 $g$ 当然满射，则由（1）可得 $f \circ g$ 是满射。因为 $f$ 和 $g$
也是内射，则由（2）可得 $f \circ g$ 内射。所以 $f \circ g$ 是双射。
定理 3.5 的逆不一定成立，请考虑原因。
定义3．7 设函数 $f: A \rightarrow A$ ，若对所有的 $a \in A, f(a)=a$ 成立，则称 $f$ 为 A 上的恒等函数，记为 $I_A$ 。

定理 3.6 设 $f: A \rightarrow B$ 是任意一个函数，则 $I_B \circ f=f \circ I_A=f$ 。
证明：因为 $f: A \rightarrow B$ 是函数，所以对任意 $a \in A$ ，存在 $b \in B$ ，使得 $f(a)=b$ ，而 $\left(I_B \circ f\right)(a)=I_B(f(a))=$ $I_B(b)=b,\left(f \circ I_A\right)(a)=f\left(I_A(a)\right)=f(a)=b$ ，所以 $I_B \circ f=f \circ I_A=f$ 。

定理 3.7 若函数 $f: A \rightarrow B$ 存在逆函数 $f^{-1}$ ，则 $f^{-1} \circ f=I_A, f \circ f^{-1}=I_B$ 。
该定理告诉我们，对于给定的 $f: A \rightarrow B$ 和 $g: B \rightarrow A$ ，要证明 $g$ 是否为 $f$ 的逆函数，只要验证 $g \circ f=I_A$ 和 $f \circ g=I_B$ 是否成立。证明留作习题。

定理 3.8 设函数 $g: A \rightarrow B, f: B \rightarrow C$ 都是双射，则 $(f \circ g)^{-1}=g^{-1} \circ f^{-1}$ 。
证明：因为 $g$ 和 $f$ 都是双射，所以由定理 3.5 知 $f \circ g$ 是从 $A$ 到 $C$ 的双射。由定理 3.1 可知 $g^{-1}$ 和 $f$ ${ }^{-1}$ 是双射，因此 $g^{-1} \circ f^{-1}$ 是双射，并且 $(f \circ g)^{-1}$ 也是双射。下面证明 $(f \circ g)^{-1}=g^{-1} \circ f^{-1}$ 。

对任意 $c \in C, f^{-1}(c)=b, g^{-1}(b)=a$ ，于是 $g^{-1} \circ f^{-1}(c)=g^{-1}\left(f^{-1}(c)\right)=g^{-1}(b)=a, f \circ g(a)=f(g(a))=$ $f(b)=c$ ，因此 $(f \circ g)^{-1}(c)=a=g^{-1} \circ f^{-1}(c)$ 。又由于 $c$ 的任意性，所以 $(f \circ g)^{-1}=g^{-1} \circ f^{-1}$ 。

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