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康托尔定理

定理 4.21 （康托尔定理）对于任何集合 $A$ ，必有 $|A|<|P(A)|$ 。
证明：设 $f: A \rightarrow P(A)$ ，对任意 $x \in A, f(x)=\{x\}$ ，由于 $x_1 \neq x_2$ 时 $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$ ，所以 $f$ 是 $A \rightarrow P(A)$的一个内射，$|A| \leqslant|P(A)|$ 。

接下来证明 $|A| \neq|P(A)|$ 。假设 $|A| \neq|P(A)|$ 不成立，则存在双射 $g: A \rightarrow P(A)$ 。如果 $a \in g(a)$ ，则称 $a$ 是 $A$ 的＂内部元素＂；如果 $a \notin g(a)$ ，则称 $a$ 是 $A$ 的＂外部元素＂。设 $B$ 是由 $A$ 的外部元素所组成的集合，也就是说 $B=\{x \mid x \in A$ 且 $x \notin g(x)\}$ 。

显然 $B \subseteq A$ ，因而 $B \in P(A)$ 。因为 $g$ 是双射，必存在一个元素 $b \in A$ ，使 $g(b)=B$ 。于是存在两种情况：或者（1）$b \in B$ 且 $g(b)=B$ ，即 $b$ 是一个内部元素，与 $B$ 的定义矛盾；或者（2）$b \notin B$ ，因而 $b \in g(b)=B$ ，这又是一个矛盾。因此 $g: A \rightarrow P(A)$ 不是双射，即 $|A| \neq|P(A)|$ 。

康托尔定理告诉我们：任意给定一个集合 $A$ ，总存在基数比 $|A|$ 更大的集合，也就是不存在最大基数的集合。例如，我们能构造可列个无限基数的集合：

$$
N, \quad P(N), \quad P(P(N)), \quad \cdots
$$

且

$$
|N|<|P(N)|<|P(P(N))|, \quad \cdots
$$

其中左方最开始的不等式表示 $\aleph_0<|P(N)|$ ，以后每一个都大于它前面的一个，而 $|P(N)|$ 是什么呢？当 $A$ 是有限集时，$|A|=n$ ，则 $|P(A)|=2^n$ ，即 $|P(A)|=2^{|A|}$ 。当 $A$ 是无限集时，也记 $|P(A)|$ 为 $2^{|A|}$ 。特别对于 $A$ 是可列集，则有 $|P(A)|=2^N{ }_0$ ，显然 $|P(N)|=2^N{ }_0$ 。

康托尔定理还告诉我们：$\aleph_0<|P(N)|$ ，即 $\aleph_0<2^{\aleph 0}$ ，又由定理 4.20 可知 $\aleph_0< c$ 。自然要问： $c$ 与 $2{ }^N{ }_0$ 之间有何关系？下面我们将要证明 $2^N{ }_0=c$ 。在证明之前，我们先来介绍二进制小数以及 $(0,1)$ 上实数的二进制表示。

在一个二进制小数 $0 . a_0 a_1 a_2 \cdots\left(a_i=0\right.$ 或 1$)$ 中，从某一项 $a_k$ 以后全为 0 ，该二进制小数称为二进制有限小数，否则称为二进制无限小数。二进制有限小数也可表示为二进制无限循环小数。例如， 0.101 又可表示为 $0.101111 \cdots$ 。为了表示唯一，我们规定：除数 0 表示为 0.000外，$(0,1]$ 上任何实数唯一地表示为一个二进制无限小数，因而容易得到下面的引理。

引理 4.1 设 $A$ 为二进制无限小数的集合，则
（1）存在从（ 0,1$]$ 到 $A$ 的双射。
（2）$|A|=c$ 。
定理4．22 $|P(N)|=c$ ，即 $2{ }^N{ }_0=c$ 。
证明：设二进制小数集合 $B$ ，二进制有限小数的集合是可列集（留作习题），记为 $A_1$ ，所以 $A \cup A_1=B$ 。由定理 4．15，即得 $|A|=|B|$ 。又由引理 4．1，可知 $|A|=|B|=c$ 。

作函数 $f: P(N) \rightarrow B$ 。对于 $N$ 的每个子集 $S \in P(N), f(S)=0 . a_0 a_1 a_2 \cdots$ ，其中 $a_k=\left\{\begin{array}{ll}1 & k \in S \\ 0 & k \notin S\end{array}\right.$ 。显然，$S=\varnothing, f(\varnothing)=0.000 \cdots ; ~ S=N, f(N)=0.111 \cdots ; ~ S=\{1,3,4, \cdots\}, f(S)=0.01011 \cdots$ 。

当 $S$ 是 $N$ 的有限子集时，$N$ 的所有有限子集所组成的集合与二进制有限小数集合 $A_1$ 是一一对应的。例如 $S=\{2,3,5\}, f(S)=0.001101 ; ~ S=\{0,2,4,6\}, ~ f(S)=0.1010101$ 。

当 $S$ 是 $N$ 的无限子集时，$N$ 的所有无限子集所组成的集合与二进制无限小数集合 $A_1$ 是一一
对应的。例如 $S=\{1,4,5, \cdots\}, f(S)=0.010011 \cdots ; S=\{2,3,4, \cdots\}, f(S)=0.00111 \cdots$ 。
容易知道 $f: P(N) \rightarrow B$ 是双射，因此得 $|P(N)|=|B|=c$ ，即 $2{ }_0=c$ 。
定理 4.22 说明自然数集 $N$ 有多少子集就是区间 $[0,1]$ 上有多少个实数。
例 $4.24 f: A \rightarrow B$ 函数全体构成集合记为 $B^A$ 。证明 $\left|N^N\right|=c$ 。
证明：（1）先证明 $\left|N^N\right| \leqslant|(0,1)|$ ，首先构造函数 $g: N^N \rightarrow(0,1)$ ，对任意 $f \in N^N, f: N \rightarrow N$ ， $(i)=x_i, i \in N, x_i$ 是二进制数。利用三进制小数表示数， 2 作间隔符，$g$ 定义为 $g(f)=0 . x_0 2 x_1 2 x_2 2 \cdots$ 。 $g(f)$ 是由 $f$ 的值构成的三进制小数。例如，$f: N \rightarrow N, f(x)=2 x$ ，则 $f \in N^N, g(f)=0.021021002$ $110210002 \cdots$ ，显然 $g$ 是 $N^N$ 到 $(0,1)$ 的内射函数，所以 $\left|N^N\right| \leqslant|(0,1)|$ 。
（2）再证明 $|(0,1)| \leqslant\left|N^N\right|$ ，构造函数 $h:(0,1) \rightarrow N^N$ ，对任意 $x \in(0,1), x=0 . x_0 x_1 x_2 \cdots$ 是十进制小数，$h$ 定义为：$h(x)=f \in N^N, f: N \rightarrow N, f(0)=x_0, f(1)=x_1, \cdots, f(i)=x_i, \cdots$ ，则 $h:(0,1) \rightarrow N^N$ 是内射函数。所以 $|(0,1)| \leqslant\left|N^N\right|$ 。

因而由（1），（2）和定理4．19得 $\left|N^N\right|=|(0,1)|=c$ 。
前面已经证明了 $\aleph_0<c, \aleph_0$ 是最小的无限基数，现在要问：$\aleph_0$ 和 $c$ 之间有没有其他的基数呢？康托尔早在一百多年前就提出了一个猜想：在 $\aleph_0$ 与 $c$ 之间没有其他的基数，这就是著名的连续统假设。1900年著名数学家希尔伯特（Hilbet．D）在巴黎数学大会上列举了 23 个未解决的数学问题，这 23 个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用。希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。其中第一个就是＂康托尔的连续统基数问题＂。

这个难题是数学中的一个很基本的问题，近百年来一直是数理逻辑中的中心问题之一，也是集合论中最难的问题之一。经过许多著名数学家不懈地努力，已取得了重大的进展。这个难题的目前研究状况是连续统假设和它的否定两者都与集合论公理系统相容。由这一问题所派生出来的许多课题仍在积极的研究之中。
康托尔悖论
在罗素发现悖论之前，康托尔在 1899 年就给出了悖论，现叙述如下。
集合是由具有某些性质的元素所组成，因此也可以假设集合 $S$ 是由所有集合所组成。现在要问：$S$ 与 $P(S)$ 的基数哪一个基数更大？

一方面由康托尔定理知道 $|S|<|P(S)|$ 。但另一方面又因为 $S$ 是所有集合所组成的集合，所以 $P(S) \subseteq S$ ，从而 $|P(S)| \leqslant|S|$ ，于是导致矛盾。这就构成了一个悖论，称为康托尔悖论。康托尔悖论涉及到基数的理论，当时康托尔希望与集合加以区分，借以排除他的悖论，但是他的悖论还未排除，罗素悖论就出现了。

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