最后更新: 2025-01-22 08:49 查看: 286 次纠错评论(0) 课件开VIP

基数(集合)的比较

所谓两个集合基数相同是指这两个集合的＂大小＂相同。下面我们要进一步比较集合的 ＂大小＂，是否能说一个无限集比另一个无限集＂更大＂？直观告诉我们，基数为 $c$ 的集合大于基数为 $\aleph_0$ 的集合，基数为 $\aleph_0$ 的集合又大于有限基数的集合。下面给出的定义与直观相符合，它提供了进行无限集合大小比较的基础。

定义4．6 设 $A$ 和 $B$ 是两个集合，若存在从 $A$ 到 $B$ 的内射，则称 $A$ 的基数小于或等于 $B$ 的基数，记为 $|A| \leqslant|B|$ 或 $|B| \geqslant|A|$ 。若 $|A| \leqslant|B|$ 且 $|A| \neq|B|$ ，则称 $A$ 的基数小于 $B$ 的基数，记为 $|A|<|B|$ 。

显然，这一定义是比较两个有限集的元素个数的推广。由定义 4.6 可以在基数集上引进次序关系 $\leqslant$ 和 $<$ ，并给出关系 $\leqslant$ 的一些性质。

定理 4.17 设 $A, B, C$ 是任意集合，那么
（1）若 $A \subseteq B$ ，则 $|A| \leqslant|B|$ 。
（2）若 $|A| \leqslant|B|,|B| \leqslant|C|$ ，则 $|A| \leqslant|C|$ 。
证明：（1）可以由定义4．6直接得到。
（2）的证明可以利用（1），以及如果 $A \subseteq B, B \subseteq C$ 则 $A \subseteq C$ ，即得。
推论 4.3 若 $A$ 是无限集，则 $|N| \leqslant|A|$ 。
证明：由定理 4.17 和定理 4.9 即可证得。
此推论说明可列集是无限集中基数最小的。由于 $[0,1]$ 是无限集，且 $|[0,1]|=c \neq \aleph_0$ ，所以 $c>\aleph_0$ 。那么，对于任意两个集合，它们的基数是否总可以比较？

定理 4.18 （蔡梅罗（Zermelo）定理）设 $A$ 和 $B$ 是任意两个集合，那么 $|A|<|B|,|B|<|A|$ ，

$|A|=|B|$ 三者中恰有一个成立。
这个性质称三歧性，说明任意两个集合总可以通过关系＜或者＝进行比较。定理 4.18 的证明是相当困难的，这里从略。

定理 4.19 （伯恩斯坦（F．Bernstein）定理）设 $A$ 和 $B$ 是两个集合，若 $|A| \leqslant|B|$ ，又 $|B|$ $\leqslant|A|$ ，则 $|A|=|B|$ 。

证明从略。
定理 4.19 告诉我们：在从 $A$ 到 $B$ 和从 $B$ 到 $A$ 的两个内射的基础上，可以得出存在从 $A$到 $B$ 的双射。定理 4.19 常用来证明两个集合有相同的基数。由于找出两个内射往往比直接证明从 $A$ 到 $B$ 存在双射要容易。这样，我们证明基数相同的方法有：构造双射；或构造内射 $f$ ： $A \rightarrow B$ ，得到 $|A| \leqslant|B|$ ，再作内射 $g: B \rightarrow A$ ，得到 $|B| \leqslant|A|$ ，从而得到 $|A|=|B|$ 。

例4．22 利用伯恩斯坦定理证明 $|(0,1)|=|[0,1]|$ 。
证明：作内射：$f:(0,1) \rightarrow[0,1], f(x)=x$ 。又作内射：$g:[0,1] \rightarrow(0,1), g(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}$ 。显然，$|(0,1)| \leqslant|[0,1]|,|[0,1]| \leqslant|(0,1)|$ 。由定理 4.19 即证得。

例4．23 证明实数序列所组成集合 $E_{\infty}$ 的基数为 $c$ 。
证明：由例 4.20 知，$f:(0,1) \rightarrow R, f(x)=\operatorname{tg}\left(\pi x-\frac{\pi}{2}\right)$ 是双射。
设 $E_{\infty}=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right) \mid x_n \in R, n=1,2, \cdots\right\}$ ，又设 $B=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right) \mid x_n \in(0,1), n=\right.$ $1,2, \cdots\}$ 。先证明 $\left|E_{\infty}\right|=|B|$ 。

作 $\left.\varphi: B \rightarrow E_{\infty}, \varphi(x)=\left(f\left(x_1\right), f\left(x_2\right), \cdots\right\}, f\left(x_n\right), \cdots\right)$ ，对所有 $x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right) \in B$ 成立，显然 $\varphi$ 是双射，所以 $\left|E_{\infty}\right|=|B|$ 。

其次证明 $|B|=c$ 。
作函数 $f_1:(0,1) \rightarrow B, f_1(x)=\{x, x, \cdots, x, \cdots\} \in B$ ，对所有 $x \in(0,1)$ 成立，显然 $f_1$ 是内射，所以 $(0,1)|\leqslant|B|$ 。

又对任意 $x=\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right\} \in B, x_n$ 用十进制无限小数唯一表示，有
 ![图片](/uploads/2025-01/e2d690.jpg)
 
 作函数 $f_2: B \rightarrow(0,1), f_2(x)=0 . x_{11} x_{12} x_{21} x_{13} x_{22} x_{31} \cdots$ ，它是由上述 $x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots$ 中小数部分按对角线方法排列而得的。 $f_2(x) \in(0,1)$ 且 $x \neq y$ 时 $f_2(x) \neq f_2(y)$ ，所以 $|B| \leqslant|(0,1)|$ 。

由定理 4.19 可知 $|B|=|(0,1)|$ ，因此 $|B|=c$ 。
有限集基数，可列集基数和连续统基数之间有如下关系。
定理4．20 设 $A$ 是有限集，则 $|A|<\aleph_0<c$ 。
证明留作习题。
是否有一个无限集，它的基数小于 $\aleph_0$ ？由定理 4.9 易知 $\aleph_0$ 是最小的无限基数。那么是否有基数大于 $c$ 的集合？是否有最大基数的集合？下面介绍康托尔定理来回答这些问题。

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