最后更新: 2025-01-22 08:48 查看: 283 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

可列集与不可列集

可列集
定义4．5 若存在从 $N$ 到 $A$ 的双射，则称 $A$ 为可列无限集，简称可列集或可数集，$|A|=\aleph_0$ 。
显然 $N$ 是一个可列集。例 4.14 ，例 4.15 中的 $I$ 和 $N_2$ 也都是可列集。可列集的基数为 $\aleph_0$ ，我们通常说该集合中的元素有可列个。若 $A$ 是可列集，并且存在从 $A$ 到 $B$ 的双射，则 $B$ 也是可列集。

自然数集 $N$ 可以排成一个无穷序列的形式： $0,1,2,3,4, \cdots$ ，因此，任何可列集 $A$ 中的元素可以排成一个无穷序列的形式：$a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, \cdots$ 。反之，对于任何集合 $A$ ，如果它的元素可以排成上述无穷序列的形式，则 $A$ 一定是可列集。因为 $A$ 中元素 $a_i$ 与 $i$ 之间可以建立——对应，所以一个集合是可列集的充要条件是它的元素可以排成一个无穷序列的形式。

定理4．9 任何无限集必含有一个可列子集。
证明：类似定理4．3，从 $A$ 中可以依次取出一列元素构成一个可列集。
定理4．10 可列集的任何无限子集必为可列集。
证明：设 $A$ 是可列集，$A$ 中的元素可以排成 $a_0, a_1, a_2, \cdots$ 。设 $B$ 是 $A$ 的任一无限子集，它的元素也是 $A$ 的元素，并且一定可以排列成：$a_{n 0}, a_{n 1}, a_{n 2}, \cdots$ 。所以 $B$ 是可列集。

定理4．11 可列集中加入有限个元素（或删去有限个元素），仍为可列集。
证明：设 $A=\left\{a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots\right\}$ 是可列集。设在 $A$ 中加入有限个元素 $b_0, b_1, \cdots$ ， $b_m$ ，且它们均与 $A$ 的元素不相同，得到新的集合 $B$ 。则 $B$ 的元素也可以排成无穷序列 $b_0, b_1, \cdots, b_m$ ， $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ ，所以 $B=\left\{b_0, b_1, \cdots, b_m, a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots\right\}$ 为可列集。

定理4．12 两个可列集之并仍为可列集。
证明：设 $A_1=\left\{a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots\right\}$ ，设 $A_2=\left\{b_0, b_1, b_2, \cdots, b_n, \cdots\right\}$ 均为可列集。不妨设 $A_1$ 和 $A_2$ 不相交，即无公共元素。 $A_1 \cup A_2$ 的元素可以排成无穷序列，即：$a_0, b_0, a_1, b_1$ ， $a_2, b_2, \cdots, a_n, b_n, \cdots$ ，所以 $A_1 \cup A_2=\left\{a_0, b_0, a_1, b_1, a_2, b_2, \cdots, a_n, b_n, \cdots\right\}$ 为可列集。

推论4．2 有限个可列集之并仍为可列集。
定理4．13 可列个可列集之并仍为可列集。
证明：不妨设可列个可列集为 $A_1, A_2, \cdots$ ，它们都是两两互不相交的。

$$
\begin{aligned}
& A_1=\left\{a_{11}, a_{12}, a_{13}, \cdots, a_{1 n}, \cdots\right\} \\
& A_2=\left\{a_{21}, a_{22}, a_{23}, \cdots, a_{2 n}, \cdots\right\}
\end{aligned}
$$

设 $A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i=A_1 \cup A_2 \cup \cdots, A$ 中的元素排列次序按对角线方法，如图4．1 中的箭头所示。

从左上端开始排，每一斜线上的每个元素的两下标之和都相同，依次为 $2,3,4,5, \cdots$ ，于是这一排列可以写为：$a_{11}, a_{12}, a_{21}, a

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