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基数、有限集与无限集

基数概念
在研究集合时，我们往往要考虑集合的＂大小＂。对于给定的集合 $A$ 和 $B$ ，它们的＂大小＂是否相同？哪个集合的元素＂较多＂？

首先我们从在 64 个小方格组成的棋盘中放米的问题来讨论集合基数的概念。印度的舍罕王要重赏国际象棋的发明人达依尔，达依尔只要求：＂在棋盘的第一个方格内放一粒米，以后每一小格内都比前一小格加一倍，最后摆满所有 64 格，然后将这些米赏给我＂。国王认为他的要求不高，爽快地答应了。可结果却无法满足。因为米粒的总数是 $1+2+2^2+\cdots+2^{63}=2^{64}-1$ ，约合 140 亿升，这显然是一个很大的数。

这个集合的基数虽然大，但总还是有限的，能把这个数写出来。然而还有一些集合的基数却是无法表述出来的。如所有整数集合的个数，一条线上所有几何点个数（即在区间 $[a$ ， $b]$ 上的个数），就无法知道到底是什么，只能认为是无穷大的数。这样就有一个问题，即上面两个数哪个大些？这个问题最初是由 Cantor 提出的。

在古代原始部落中，不存在比 3 大的数，如果问他们当中的一个人有几个孩子，当孩子多于 3 个时，其回答是很多的。在比较一堆珠子和一堆铜币哪个多时，他们是通过把珠子和铜币逐个比较，最后看哪个堆有多余，若同时没有则两者相同。
对于无穷大数的比较，我们也面临类似于原始部落的问题。Cantor 的解决办法与原始部落的方法相同：给两组元素无穷多的序列中的各个数一一配对，若最后这两组元素恰好配对完毕，则认为这两个无穷大数就是相等的；若有一组还没配完，则该组就比另一组大。正是基于这一基本设想，我们可给出比较两个集合元素个数大小的方法。

例 4.12 设 $A=\{1,2,3\}, B=\{a, b, c\}, A$ 与 $B$ 之间存在几种一一对应的方法，其一如 $1 \rightarrow a, 2 \rightarrow b, 3 \rightarrow c$ ；另一如 $1 \rightarrow b, 2 \rightarrow c, 3 \rightarrow a$ 等，所以 $A$ 与 $B$＂大小＂相同。

例 $4.13 A=\{1,3,5,7,9,11, \cdots\}, B=\{0,2,4,6,8, \cdots\}, A$ 与 $B$ 之间建立如下的一一对应： $1 \rightarrow 0,3 \rightarrow 2,5 \rightarrow 4,7 \rightarrow 6,9 \rightarrow 8, \cdots$ 所以 $A$ 与 $B$＂大小＂相同。

定义4．3 设 $A, B$ 是任意两个集合，若存在一个双射 $f: A \rightarrow B$ ，则称 $A$ 和 $B$ 对等（或等势），记为 $A \sim B$ ；或称 $A$ 和 $B$ 的基数相同。 $A$ 的基数记为 $\overline{\bar{A}}$ ，或者 $|A| ; ~ A$ 和 $B$ 的基数相同记为 $\overline{\bar{A}}=\overline{\bar{B}}$ 或者 $|A|=|B|$ 。

无限集
定义4．4 设 $A$ 为一个集合，若 $A$ 为空集或与集合 $\{0,1,2, \cdots, n-1\}$ 的基数相同，则称 $A$ 为有限集，且 $|A|=n \in N$ 。若集合 $A$ 不是有限集，则称 $A$ 为无限集。

定理 4.7 自然数集 $N$ 是无限集。
证明：由定义 4．4 可知，只要证明 $N$ 不是有限集即可，即证明对任何 $n \in N$ ，不存在从 $\{0$ ， $1,2, \cdots, n-1\}$ 到 $N$ 的双射。设 $n$ 是 $N$ 中任一自然数，$f$ 是从 $\{0,1,2, \cdots, n-1\}$ 到 $N$ 的任一函数，令 $K=1+\max \{f(0), f(1), \cdots, f(n-1)\}$ 。则 $K \in N$ ，但对于 $K$ ，对任意 $x \in\{0,1,2, \cdots$ ， $n-1\}, f(x) \neq K$ ，所以 $f$ 不是满射，当然 $f$ 也不是双射。由 $n$ 和 $f$ 的任意性可知 $N$ 是一个无限集。

没有一个自然数能作为 $N$ 的基数，因此今后我们将记 $|N|$ 为 $\aleph_0$ ，读作阿列夫零。
下面再给出一些与 $N$ 对等的例子。
例 $4.14 N$ 与 $I$ 之间有如下一一对应：

$$
\begin{array}{ccccccccc}
N: & 0, & 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 6 & \ldots \\
I: & 0, & 1, & -1, & 2, & -2, & 3, & -3 & \ldots
\end{array}
$$

即存在双射 $f: N \rightarrow I$ ，使对 $n \in N$ ，

$$
f(n)= \begin{cases}-\frac{1}{2} n & n \text { 为偶数 } \\ \frac{1}{2}(n+1) & n \text { 为奇数 }\end{cases}
$$

所以 $\mid I=\aleph_0$ 。
例 4.15 设 $N_2=\{0,2,4, \cdots\}$ ，则 $N \sim N_2$ 。因为存在 $f: N \rightarrow N_2$ ，对任何 $n \in N$ 有 $f(n)=2 n$ ，显然 $f$ 是 $N \rightarrow N_2$ 的双射。
$N$ 是 $I$ 的真子集，而 $N_2$ 是 $N$ 的真子集，然而 $|I|=\left|N_2\right|=|N|=\aleph_0$ 。这揭示了无限集的一个重要特征：无限集可以与它的一个真子集对等。对于有限集来说，这是不可能的。无限集与有限集的本质区别也就在于此。

定理 4.8 无限集必与它的一个真子集对等。

证明：设 $A$ 是任意的无限集，从 $A$ 中取一元素记为 $a_1$ ，则 $A-\left\{a_1\right\}$ 为非空无限集；然后在 $A-\left\{a_1\right\}$中取一元素记为 $a_2, A-\left\{a_1, a_2\right\}$ 还是非空无限集；取元素过程一直进行下去，从 $A$ 中可取出一列元素 $a_1, a_2, \cdots$ ，将 $A-\left\{a_1, a_2, \cdots\right\}$ 记为 $A^{\prime}$ ，则 $A=A^{\prime} \cup\left\{a_1, a_2, \cdots\right\}$ 。

在 $A$ 中取真子集 $B=A^{\prime} \cup\left\{a_2, a_4, \cdots\right\}$ ，那么存在双射 $f: A \rightarrow B$ ，使

$$
f(x)= \begin{cases}a_{2 i} & x=a_i \\ x & x \in A^{\prime}\end{cases}
$$

因此 $A \sim B$ 。
推论4．1 凡不能与自身的任一真子集对等的集合为有限集。
定理 4.8 给出了有限集和无限集的另一个定义，它与前述定义是等价的（证明从略）。即：凡能与自身的某一真子集对等的集合称为无限集，否则称为有限集。

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