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离散数学
第三章 函数与无限集
基数、有限集与无限集
最后
更新:
2025-01-22 08:46
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基数、有限集与无限集
基数概念 在研究集合时,我们往往要考虑集合的"大小"。对于给定的集合 $A$ 和 $B$ ,它们的"大小"是否相同?哪个集合的元素"较多"? 首先我们从在 64 个小方格组成的棋盘中放米的问题来讨论集合基数的概念。印度的舍罕王要重赏国际象棋的发明人达依尔,达依尔只要求:"在棋盘的第一个方格内放一粒米,以后每一小格内都比前一小格加一倍,最后摆满所有 64 格,然后将这些米赏给我"。国王认为他的要求不高,爽快地答应了。可结果却无法满足。因为米粒的总数是 $1+2+2^2+\cdots+2^{63}=2^{64}-1$ ,约合 140 亿升,这显然是一个很大的数。 这个集合的基数虽然大,但总还是有限的,能把这个数写出来。然而还有一些集合的基数却是无法表述出来的。如所有整数集合的个数,一条线上所有几何点个数(即在区间 $[a$ , $b]$ 上的个数),就无法知道到底是什么,只能认为是无穷大的数。这样就有一个问题,即上面两个数哪个大些?这个问题最初是由 Cantor 提出的。 在古代原始部落中,不存在比 3 大的数,如果问他们当中的一个人有几个孩子,当孩子多于 3 个时,其回答是很多的。在比较一堆珠子和一堆铜币哪个多时,他们是通过把珠子和铜币逐个比较,最后看哪个堆有多余,若同时没有则两者相同。 对于无穷大数的比较,我们也面临类似于原始部落的问题。Cantor 的解决办法与原始部落的方法相同:给两组元素无穷多的序列中的各个数一一配对,若最后这两组元素恰好配对完毕,则认为这两个无穷大数就是相等的;若有一组还没配完,则该组就比另一组大。正是基于这一基本设想,我们可给出比较两个集合元素个数大小的方法。 例 4.12 设 $A=\{1,2,3\}, B=\{a, b, c\}, A$ 与 $B$ 之间存在几种一一对应的方法,其一如 $1 \rightarrow a, 2 \rightarrow b, 3 \rightarrow c$ ;另一如 $1 \rightarrow b, 2 \rightarrow c, 3 \rightarrow a$ 等,所以 $A$ 与 $B$"大小"相同。 例 $4.13 A=\{1,3,5,7,9,11, \cdots
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