最后更新: 2025-01-22 08:44 查看: 88 次纠错评论(0) 课件开VIP

贝安诺公理

（5）如果 $S \subseteq N$ ，且（1） $0 \in S$ ，（2）如果 $n \in S$ ，那么 $n^{+} \in S$ ，则 $S=N$ 称为 贝安诺公理

贝安诺公理（5）称为极小性，表示：如果自然数集 $N$ 的子集 $S$ 包含数 0 ，并且 $S$ 中每一个数 $n$ 都有它的后继 $n^{+}$，则 $S$ 就是自然数全体。公理中 $n^{+}$可理解为 $n+1$ ，但是我们不一定要把＂+ ＂作为 $N$ 上的一个运算。
$\qquad$

第4章 无限集
贝安诺公理（5）是数学归纳法原理的基础。数学归纳法常用来证明各种数学命题，是一个重要的证明方法。

利用贝安诺公理（5）来推导第一数学归纳法。
设 $P(n)$ 是与 $n \in N$ 有关的命题，如果能够证明
（1）（基础）$P(0)$ 为真。
（2）（归纳）对于任何 $k \in N$ ，如果 $P(k)$ 为真，那么 $P(k+1)$ 为真。
则对于任何 $n \in N, P(n)$ 为真。
证明：对于贝安诺公理（5），设 $S=\{k \in N \mid P(k)$ 为真 $\}, S \subseteq N$ 。
（1）因为 $P(0)$ 为真，所以 $0 \in S$ 。
（2）因为对于任何 $k \in N$ ，如果 $P(k)$ 为真，那么 $P(k+1)$ 为真。所以可以推出：如果 $k \in S$ ，那么 $(k+1) \in S$ 。

由贝安诺公理（5）可知 $S=N$ ，因此对于所有 $n \in N, P(n)$ 为真。
注意，在数学归纳法原理的基础中不一定证明 $P(0)$ 为真。可以证明对任一给定的自然数 $k_0, P\left(k_0\right)$ 为真，而结论则是对 $n \geqslant k_0, P(n)$ 为真。

例4．8 对于 $n \geqslant 4$ ，证明 $2^n<n!$ 。
证明：设 $P(n): 2^n<n!$ 。显然 $P(1), P(2), P(3)$ 是假的，这与证明无关。
（1）$P(4): 2^4<4!$ ，即 $16<24$ ，所以 $P(4)$ 为真。
（2）如果对任何 $k \geqslant 4, P(k)$ 为真，有 $2^k<k!$ ，两边乘以 2 ，得到 $2 \times 2^k=2^{k+1}<2 \times k!<(k+1) \times k!=$ $(k+1)!$ 。所以 $P(k+1)$ 为真。因此，对于所有 $n \in N$ ，且 $n \geqslant 4, P(n)$ 均为真。

例 4.9 求证：任何由 $3^n$ 个相同的数字所组成的数能被 $3^n$ 整除。
例如，当 $n=1$ 时， 222,555 和 777 可以被 3 整除；当 $n=2$ 时， 222222222 和 555555555能被 $3^2$ 整除。

证明：设 $P(n)$ ：任何由 $3^n$ 个相同的数字所组成的数能被 $3^n$ 整除。
（1）$P(0)$ 显然为真；$P(1)$ ：任一 $a, ~ a a a=a \times 10^2+a \times 10+a=111 \times a$ ，可以被 3 整除，所以 $P(1)$ 为真。
（2）如果对任何 $k, P(k)$ 为真，即 $\underbrace{a a \cdots a}_{3^k \text { 位 }}$ 可被 $3^k$ 整除。现在考察 $P(k+1)$ 。
 
 ![图片](/uploads/2025-01/8b2eba.jpg)
 
 利用贝安诺公理（5），可以证明第二数学归纳法是正确的。证明留作习题。
例4．10 证明所有大于或等于 2 的整数能表示为若干质数之积。
证明：设 $P(n)$ 是命题：整数 $n$ 能表示为若干质数之积。对于 $n=2$ ，显然 $P(2)$ 为真。如果对于任何 $k$ ，每一个 $k, 2 \leqslant i \leqslant k, P(i)$ 为真，那么可以证明 $P(k+1)$ 为真，即 $k+1$ 能表示为若干个质数之积。因为
（1）如果 $k+1$ 是质数，则 $P(k+1)$ 为真。
（2）如果 $k+1$ 不是质数，那么 $k+1=p q$ ，这里 $2 \leqslant p, q \leqslant k$ 。
由归纳假设知，$p$ 和 $q$ 都能表示为若干质数之积，所以 $P(k+1)$ 也为真。
最后，利用第二数学归纳法来证明函数的递归定义是正确的。
假设（1）前 $q+1$ 个相继整数所组成的集合 $A=\{0,1,2, \cdots, q\}$ ，对 $A$ 中每个 $i$ ，指定一个实数 $r_i$ 。（2）如果 $n$ 是大于 $q$ 的任何整数，那么有一规则 $f$ 来确定一个实数 $f(n), f(n)$ 能通过集合 $\{f(n-1), f(n-2), \cdots, f(n-q-1)\}$ 中某些项或所有项唯一地表示出来。设 $f(i)=r_i$ ，对所有 $i \in A$ ，那么规则 $f$ 是定义域为非负整数集合的一个函数，用这种方法定义的函数称为递归定义的函数。由前面 $f(i)$ 值定义的 $f(n)$ 的规则称为一个递推关系。 $F(0), f(1), f(2), \cdots, f(q)$ 称为递推关系的初始值。下面利用第二数学归纳法来证明：对每个非负整数 $n, f(n)$ 是唯一的。

例 4.11 证明如果 $f$ 是递归定义的，则对所有的 $n \in N, f(n)$ 是唯一的。
证明：设 $P(n)$ 是命题：对每个 $n, f(n)$ 是唯一的。
由于 $f(i)=r_i(i=0,1,2, \cdots, q)$ 是唯一的，因此 $P(0), P(1), P(2), \cdots, P(q)$ 为真。如果对于任何 $k \in N, k \geqslant q, i \leqslant k, P(i)$ 为真。显然，由 $f$ 的定义，对于 $k+1(>q), f(k+1)$ 可按其前面至多 $q+1$ 个 $f$ 的值唯一地表示出来，所以 $P(k+1)$ 为真。因此，对于所有 $n \in N, P(n)$ 为真，即 $f(n)$ 是唯一的。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：集合的递归定义

下一篇：基数、有限集与无限集

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)