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集合的递归定义

数学归纳法
首先通过讨论自然数的有序性和最小性，来说明数学归纳法的合理性。
在讲到关系时，我们知道＂小于等于关系＂是自然数集 $N$ 上的全序关系，即对任意两个自然数 $n_1, ~ n_2$ ，或者 $n_1 \leqslant n_2$ ，或者 $n_2 \leqslant n_1$ 。依据该全序关系，自然数集 $N$ 可排成这样一个序列： $0,1,2,3,4, \cdots$ ，这一特性称为自然数的有序性。

自然数的另一基本性质是自然数的最小性。
定理 4.1 在自然数集 $N$ 的任一非空子集 $S$ 中，必存在一个最小数（即在 $S$ 中有不大于其他任意数的数）。

定理 4.2 设 $S$ 是自然数集 $N$ 的非空子集，如果 $0 \in S$ ，并且当 $n \in S$ 时，必有 $n+1 \in S$ ，则 $S=N$ 。

定理 4.3 设 $S$ 是自然数集 $N$ 的非空子集，如果 $0 \in S$ ，并且当 $1,2, \cdots, n \in S$ 时，必有 $n+1 \in S$ ，则 $S=N$ 。

上述 3 个定理是数学归纳法的基础。证明留作作业。
对于数学归纳法，有第一数学归纳法和第二数学归纳法两种形式。
采用第一数学归纳法证明一个结论对所有自然数都为真，要做如下两件事。
（1）当 $n=0$ 时，证明结论成立。
（2）若当 $n=k$ 时结论成立，证明当 $n=k+1$ 时结论也成立。
采用第二数学归纳法证明一个结论对所有自然数都真，则要做如下两件事。
（1）当 $n=0$ 时，证明结论成立。
（2）若当 $n \leqslant k$ 时结论成立，证明当 $n=k+1$ 时结论也成立。
例4．1 用第一归纳法来证明：当 $n \in N$ ，则 $4^{n+1}-3 n-4$ 是 9 的倍数。
证明：当 $n=0$ 时，因为 $4^{0+1}-3 \times 0-4=0$ 是 9 的倍数，所以命题为真。对于任意的 $k \in N$ ，假定当 $n=k$ 时命题为真，即 $4^{n+1}-3 k-4$ 是 9 的倍数。因为 $4^{k+1+1}-3(k+1)-4=4 \times 4^{k+1}-3 k-3$ $-4=4\left(4^{k+1}-3 k-4\right)+9(k+1)$ ，由归纳假设， $4^{k+1}-3 k-4$ 是 9 的倍数，所以， $4^{(k+1)+1}-3(k+1)-4$ 也是 9 的倍数，即当 $n=k+1$ 时命题也真。

例 4.2 设有两个口袋，一个口袋装有 $m$ 个球，另一个口袋装有 $n$ 个球，并且 $m>n$ 。今有两人进行取球比赛，其比赛规则如下。
（1）二人轮流从口袋里取球，每次只准一人取球。
（2）每人每次只能从一个口袋里取，每次至少得取出一个，多取不限。
（3）最后取完口袋里的球者为胜利者。
用第二归纳法证明先取者总能取胜。
证明：当 $n=0$ 时，仅一个口袋里有球，先取者全部取出即胜。设对任意自然数 $k>0$ ，假定对任意自然数 $n \leqslant k$ 时命题为真。设 $n=k+1$ ，因为 $m>n$ ，所以先取者可以从有 $m$ 个球的口袋里取出 $(m-k-1)$ 个球。因为两个口袋都剩下有 $k+1$ 个球，且后取者还必须从一个口袋里取出至少一个球。所以先取者再取时，一个口袋里有 $k+1$ 个球，而另一个口袋里有小于等于 $k$ 个球，根据归纳假定，先取者必能取胜。这表明当 $n=k+1$ 时命题为真。

下面说明这两种形式的数学归纳法的合理性。
定理4．4 设 $P(n)$ 是一个与自然数 $n$ 有关的结论。若对于自然数 0 ，结论成立；并且当对自然数 $k$ 结论成立时，对于自然数 $k+1$ 结论也成立，则该结论对所有自然数都成立。

定理4．5 设 $P(n)$ 是一个与自然数 $n$ 有关的结论。若对于自然数 0 ，结论成立；并且当对自然数 $1,2, \cdots, k$ 结论成立时，对于自然数 $k+1$ 结论也成立，则该结论对所有自然数都成立。

证明留作作业。
下面讨论集合的另一种表示方法——集合的递归（归纳）定义。

例 4.3 下面的定义给出的是怎样的集合？
（1） $3 \in S$ 。
（2）如果 $x, y \in S$ ，则 $x+y \in S$ 。
（3）除有限次应用（1）和（2）产生的整数外，再没有其他的整数在

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