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离散数学
第六章 树
有根树与二分树
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2025-01-22 09:45
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有根树与二分树
前面几节主要考虑无向图中树的性质和一些算法。在本节中讨论有向图的有根树和有序树,它们在计算机科学中应用很广。 定义 10.11 (有向树)有向图在不考虑弧的方向时是一棵树,称该有向图为有向树。 显然有向树是弱连通的。现在我们将讨论一类重要的有向树,即有根树,定义如下。 定义 10.12 (有根树)若有一棵有向树恰有一个顶点的入度为 0 ,其余所有顶点入度为 1 ,称该有向树为有根树。入度为 0 的顶点称为根,出度不为 0 的顶点称为分枝点或内部顶点,出度为 0 的顶点称为树叶或外部顶点。 在有根树中,从根 $v$ 到其余每个顶点有唯一的一条有向路。这一性质由定义 10.12 即可得出。有根树中还有一些专门术语,现在介绍如下。 定义 10.13 设 $a$ 和 $b$ 是有根树 $T$ 的顶点,若从 $a$ 到 $b$ 有一条边,则称 $a$ 是 $b$ 的父亲,$b$是 $a$ 的儿子。同一个分枝点的儿子,称为"兄弟"。若从 $a$ 到 $c$ 有一有向路径,则称 $a$ 是 $c$的祖先,$c$ 是 $a$ 的后代。由顶点 $a$ 和它所有的后代导出的子图,称为 $T$ 的子树,从树根 $r$ 到一顶点 $a$ 的路径所含的边数称为 $a$ 的层数。有根树 T 中从根到树叶的最大层数称为有根树 $T$ 的高。 当我们画有根树时,如果规定将一个分枝点的儿子放在它下面,那么弧的箭头就可以省略。 如图 10.4 中的图是有根树。顶点 $a$ 是根,顶点 $b, i, h, e, f$ 都是树叶,顶点 $c, d, g$ 都是分枝点。顶点 $a$ 的层数是 0 ,顶点 $b, c$ 的层数是 1 ,顶点 $d, e, f$ 的层数是 2 ,顶点 $g, h$ 的层数是 3 ,顶点 $i$ 的层数是 4 。  有根树的概念非常重要,原因在于它描述了一个离散结构的层次关系,而层次结构是一种重要的数据结构,所以有根树结构在相当广泛的领域中有它的应用。有时只要考虑某一层次上某分枝点为根的局部层次关系,因此引入下面的概念。
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