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二维射影平面

1．1．1 射影平面
点与直线的齐次坐标
众所周知，平面上的点在欧氏坐标系下可用一个二维有序数组 $\widetilde{x}=(x, y)^T$ 来表示，即点的欧氏坐标。平面上的直线方程可表示为

$$
a x+b y+c=0
$$

在方程（1．1．1）两边同乘以任一非零常数 $t$ ，得到下述方程：

$$
a x t+b y t+c t=0
$$

方程（1．1．1）与（1．1．2）的几何意义是相同的，它们表示平面上同一条直线。令

$$
x =(x t, y t, t)^T, \quad l =(a, b, c)^T
$$

则方程（1．1．2）可写成

$$
I ^T x =0
$$

其中 $x$ 是变量，表示一条直线上的点；$l$ 是一个固定的向量，代表该直线。
一般地，称 $x =(x t, y t, t)^T$ 为点的齐次坐标（Homogenous Coordinate），称 $I =(a, b, c)^T$ 为直线的齐次坐标。这里的＂齐次＂也可以这样来理解：在这种表示下，直线方程（1．1．3）关于点或直线变量都是齐次的，而方程（1．1．1）则是非齐次的。

齐次坐标可以相差任何一个非零常数因子，即 $\forall s \neq 0, x$ 与 $y =s x$ 表示同一个点，因为它们的非齐次坐标相等：

$$
\tilde{ x }=(x / t, y / t)^T=(s x / s t, s y / s t)=\tilde{ y }
$$

对于直线的齐次坐标也一样，因为 $(s l)^T x=0$ 与方程（1．1．3）确定同一条直线。
射影平面（Projective Plane）
齐次坐标为 $x _{\infty}=(x, y, 0)^T$ 的点称为无穷远点（有时也称为理想点）。无穷远点没有欧氏坐标，因为 $x / 0=\infty, y / 0=\infty$ ，从这里我们也可以看出为什么将 $x _{\infty}$ 称为无穷远点。

平面上所有无穷远点所构成的集合称为无穷远直线，记为 $I _{\infty}$ 。由于所有无穷远点 $x _{ \infty }=(x, y, 0)^T$ 都满足方程：

$$
0 \cdot x+0 \cdot y+1 \cdot 0=0
$$

所以，无穷远直线的线坐标为 $l _{\infty}=(0,0,1)^T$ 。
由欧氏平面与无穷远直线的并集所形成的扩展平面称为射影平面，有时也称为二维射影空间。

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