最后更新: 2025-01-23 08:56 查看: 81 次纠错评论(0) 课件开VIP

二维两点、两线的叉积

两点，两线的叉积（Cross Product）
令 $x _1=\left(x_1, y_1, t_1\right)^T, x _2=\left(x_2, y_2, t_2\right)^T$ 是两个三维向量，它们的叉积定义为

$$
x _1 \times x _2=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
x_1 & y_1 & t_1 \\
x_2 & y_2 & t_2
\end{array}\right)=\left(\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
y_1 & t_1 \\
y_2 & t_2
\end{array}\right),-\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
x_1 & t_1 \\
x_2 & t_2
\end{array}\right), \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2
\end{array}\right)\right)^T
$$

如果 $x_1, x_2$ 表示射影平面上两个点，则 $l =x_1 \times x_2$ 表示通过这两个点的直线，这是因为我们有

$$
I ^T x _j=\left( x _1 \times x _2\right)^T x _j=\operatorname{det}\left( x _1, x _2, x _j\right)=0, j=1,2
$$

若 三 点 $x _1, x _2, x _3$ 共 线，则必有 $\operatorname{det}\left( x _1, x _2, x _3\right)=\left( x _1 \times x _2\right)^T x _3=0$ ，反之若 $\operatorname{det}\left( x _1, x _2, x _3\right)=0$ ，则三点 $x _1, x _2, x _3$ 必共线。

综合前面讨论的结果，我们有下述命题：
命题 1．1．1（1）两点 $x_1, x_2$ 的连线是 $l = x _1 \times x_2 ;$（2）三点 $x_1, x_2, x_3$ 共线的充要条件是：

$$
\operatorname{det}\left(x_1, x_2, x_3\right)=0
$$

对偶原理（Dual Principle）在射影平面内，点和线是一对互为对偶元素。在包含＂点＂与 ＂线＂元素的命题中，如果将元素的角色互换，则对应的命题也成立，并称它们为一对对偶命题。

例如：命题1．1．1有如下对偶命题：
命题 1．1．2（1）两线 $l_1, l_2$ 的交点是 $x=l_1 \times l_2 ;$（2）三线 $l_1, l_2, l_3$ 共点的充要条件是：

$$
\operatorname{det}\left( l _1, l _2, l _3\right)=0
$$

直线上点的参数化
平面上的点有两个自由度，可用三维向量（齐次坐标）来表示。直线上的点仅有一个自由度，因此直线上点的齐次坐标仅需要二维向量来表示。如果直线上点仍用三维向量来表示，就会过参数化。在这样的参数化下，各参数之间独立性很差，有时处理问题不太方便。如何用二维向量来表示直线上点的齐次坐标，就是所谓的直线上点的参数化问题。

给定直线 $I$ 上两个不同点的齐次坐标 ${ }^* x _1, x _2$ ，则直线 $I$ 上任何一个点 $x$ 均可以表示为

$$
x =u x _1+v x _2
$$

这样，利用直线 $I$ 上的两个点，可以将直线 $l$ 上的所有点均由二维向量来表示：

$$
x =(u, v)^T
$$

并称这个向量为线 $l$ 上点的（二维）齐次坐标。
可以看出 $x _1, x _2$ 的（二维）齐次坐标分别是 $x _1=(1,0)^T, x _2=(0,1)^T$ 。因此，这种参数化过程实际上是建立直线坐标系的过程。显然，直线上点的参数化不是唯一的，不同的参数化对应不同的坐标系。

共线点的交比（Cross Ratio）假定 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 是直线 $l$ 上的 4 个点，它们在某种参数化下的齐次坐标为 $x _j=\left(u_j, v_j\right)^T$ 。定义

$$
\left( x _1, x _2 ; x _3, x _4\right)=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
u_1 & u_3 \\
v_1 & v_3
\end{array}\right)}{\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
u_2 & u_3 \\
v_2 & v_3
\end{array}\right)}: \frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
u_1 & u_4 \\
v_1 & v_4
\end{array}\right)}{\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
u_2 & u_4 \\
v_2 & v_4
\end{array}\right)}
$$

为该 4 点的交比。可以证明， 4 点的交比不依赖于参数化的选择，或者说不依赖于直线坐标系的选择。

若 $\left(x_1, x_2 ; x_3, x_4\right)=-1$ ，则称点 $x_1, x_2$ 与 $x_3, x_4$ 成调和共轭（Hamonic Conjugate）。例如：通过圆心的直线交圆上的两个点与圆心以及该直线上的无穷远点成调和共轭。

如果将平面上共点的直线束进行参数化，即将共点直线束中的直线用二维向量来表示，用类似的方法也可以定义 4 条共点直线的交比。

在 1．1．3 节，将会看到交比是射影变换下的不变量。

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