最后更新: 2025-01-23 08:58 查看: 97 次纠错评论(0) 课件开VIP

二次曲面

二次曲线的表示
我们知道在欧氏平面内，一条二次曲线（Conic）的方程可表示为

$$
a x^2+b y^2+2 c x y+2 d x+2 e y+f=0
$$

写成矩阵形式，有

$$
(x, y, 1)\left(\begin{array}{lll}
a & c & d \\
c & b & e \\
d & e & f
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
1
\end{array}\right)=0
$$

令 $C=\left(\begin{array}{lll}a & c & d \\ c & b & e \\ d & e & f\end{array}\right)$ ，它是一个对称矩阵。如果点使用齐次坐标，则二次曲线可表示为

$$
x ^T C x =0
$$

称对称矩阵 $C$ 是二次曲线的表示。
矩阵 $C$ 虽然有 6 个不同的元素，但由于方程（1．1．5）的齐次性，所以仅有 5 个元素是独立的，即起确定作用的是 5 个比值，例如：$a / f, b / f, c / f, d / f$ 和 $e / f$ 。因此，二次曲线有 5 个自由度。这样，在一般情况下，射影平面上的 5 个点唯一确定一条二次曲线，并且可以通过求解下述线性方程组而得出：

$$
x _j^T C x _j=0, j=1,2, \ldots, 5
$$

二次曲线根据它的秩（即 $C$ 的秩）是否是满秩而分为非退化与退化两种情况。非退化二次曲线是正常二次曲线，退化二次曲线或者是由两条直线所构成（ $rank C=2$ ），或者由二条重合直线所构成（ $\operatorname{rank} C=1$ ）。

方程（1．1．5）所表示的二次曲线，是射影平面的点集，即二次曲线由点所生成。如果将点元素换成直线元素，则得到直线元素的二次方程：

$$
l ^T C^* l=0
$$

其中 $C^*$ 是对称矩阵。＂＊＂表示对偶，其意义可从下文得到理解。
 ![图片](/uploads/2025-01/bb3630.jpg)
 
 方程（1．1．7）也表示射影平面内的一条二次曲线，这条二次曲线 $C^*$ 是由直线生成的。在几何上，这条二次曲线是直线族的包络，即 $C^*$ 的几何元素是二次曲线的切线，如图 1．1．1 所示。

切线的坐标
假定 $C$ 是一条非退化（点）二次曲线，令 $x$ 是 $C$ 上的任意一点，下面考虑 $C$ 在点 $x$ 处的切线的代数表示。显然，$l=C x$ 确定平面上的一条直线。点 $x$ 必在直线 $l$ 上，因为 $l ^T x =( x C )^T x = x ^T C x =0$ 。如果能证明：除点 $x$ 外，直线 $l$ 与 $C$ 不再有另外的交点，则就证明了 $l$ 是 C 过点 $x$ 的切线。反证：若直线 $l$ 与 $C$ 还有另外一个交点 $y$ ，则必有

$$
y ^T C y =0, x ^T C y = l ^T y =0
$$

将上式与 $x ^T C x =0$ 结合起来，可导致下述等式

$$
(s x+t y)^T C(s x+t y)=0
$$

对任何标量 $s, t$ 都成立，这表明直线 $I$ 在二次曲线 $C$ 上，与 $C$ 非退化矛盾。
总结上述讨论，有下述命题。
命题 1．1．3 非退化（点）二次曲线 $C$ 过点 $x$ 的切线为 $l = C x$ 。
命题 1．1．3 的对偶命题是：非退化（线）二次曲线 $C^*$ 过线 $I$ 的切点为 $x =C^* l$ 。
对偶之间的关系
非退化情况 射影平面上任一条（点）二次曲线 $C$ ，都可以作为其切线的包络，即同时可用 （线）二次曲线来表示，记为 $C^*$ ，并称 $C$ 与 $C^*$ 互为对偶。下面考虑 $C^*$ 与 $C$ 之间的代数关系。

对于 $C$ 上的任一点 $x$ ，该点的切线为 $l = C$ 。由于 $C$ 是满秩的，所以有 $C^{-1} l = x$ ，又因切点必在切线上，即 $I ^T x =0$ ，于是有 $I ^T C^{-1} l =0$ 。因此 $C^*=C^{-1}$ 。另外，还可以证明 $\left(C^*\right)^*=C$ 。

综合上面讨论的结果，我们有命题：
命题 1．1．4 非退化二次曲线 $C$ 与其对偶 $C ^*$ 之间的关系是 $C^*=C^{-1}$ ，并且 $\left(C^*\right)^*=C_{\text {。 }}$ 。
退化情况 退化二次曲线 $C$ 由两条直线所组成。令这两条直线为 $l , m$ ，则 $C$ 可表示为

$$
C= l ^T+ m l ^T
$$

根据对偶原理，对偶二次曲线 $C^*$ 包含两个点 $x , y$ ，并且 $C^*$ 可表示为

$$
C^*= x y ^T+ y x ^T
$$

注意对于退化情况，$\left(C^*\right)^* \neq C$ 。
对于（点）二次曲线，以后简称为二次曲线，而（线）二次曲线称为对偶二次曲线（Dual Conic）。

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