最后更新: 2025-01-23 08:59 查看: 177 次纠错评论(0) 课件开VIP

极点与极线关系

令 $x$ 是平面上的任一点，给定一条二次曲线 $C$ ，则 $l = C x$ 确定了一条直线。直线 $l$ 称为 $x$ 关于 $C$ 的极线（Pole Line）， $x$ 称为直线 $l$ 关于 $C$ 的极点（Pole Point）。

二次曲线 $C$ 上的点 $x$ 关于 $C$ 的极线是过该点的切线 $l$ ，而切线 $l$ 关于 C 的极点是切点 $x$ 。由二次曲线 $C$ 所确定的这种点与直线之间的对应关系称为二次曲线的极对应。可以证明：非退化二次曲线的极对应是点与直线之间的一一对应。

这种极对应，也可以给出它的几何描述：
命题 1．1．5 点 $x$ 关于 $C$ 的极线 $l = x x$ 交 $C$ 于两个点（可能是虚点，或重点），且 $C$ 在这两个交点的切线交于点 $x$ 。（如图 1．1．2 所示）

证明 直线 $l$ 与二次曲线 $C$ 总交于二个点，交点的坐标是方程组 $\left\{\begin{array}{c} y ^T C y =0 \\ l ^T y =0\end{array}\right.$ 的解。令 $y$ 是一个交点，则有 $(C x )^T y =0$ 。由 $C$ 的对称性， $x ^T C y =0$ ，这说明 $x$ 必在切线 $C y$ 上，同理 $x$ 在另一个交点的切线上。证毕。
 ![图片](/uploads/2025-01/1fe11d.jpg)
 二次曲线的极点与极线的对应关系。过点 x 的两条切线的切点的连线是点 x 的极线 l。
 
 共轭点（Conjugate Points）如果两个点 $x , y$ 满足 $x ^T C y =0$ ，则称点 $x , y$ 关于二次曲线 $C$ 互为共轭。不难看出点 $x$ 关于 $C$ 的所有共轭点所构成的集合构成点 $x$ 关于 $C$ 的极线。

圆环点及其对偶
无穷远直线上的两个点：

$$
I =\left(\begin{array}{l}
1 \\
i \\
0
\end{array}\right), \quad J =\left(\begin{array}{c}
1 \\
-i \\
0
\end{array}\right)
$$

称为一对圆环点（Circular Points）或绝对点（Absolute Points）。其中 $i=\sqrt{-1}$ ，所以它们是一对共轭虚点。

圆环点的命名来源于平面上任何圆与无穷远直线均交于 $I, J$ 。事实上，圆的方程可表示为

$$
x^2+y^2+2 d x t+2 e y t+f t=0
$$

而无穷远直线的方程是 $t=0$ 。将这两个方程联立求解，可以得到 $x^2+y^2=0$ 。因此，交点的齐次坐标必为 $I , J$ 。

现在，可以看出解释为什么给定三个点就能唯一确定一个圆，因为圆总是通过两个圆环点。所以， 3 点确定一个圆与 5 个点才能确定一条二次曲线并不矛盾。

圆环点的对偶（Dual of Circular Points）圆环点可以看作平面上的一条（退化）二次曲线，它的方程是 $x^2+y^2=0$ 。它的（退化）对偶二次曲线 $C_{\infty}^*$ 称为圆环点的对偶，可以表示为

$$
C_{\infty}^*= I ^T+ J I ^T=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

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