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射影几何
极点与极线关系
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2025-01-23 08:59
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极点与极线关系
令 $x$ 是平面上的任一点,给定一条二次曲线 $C$ ,则 $l = C x$ 确定了一条直线。直线 $l$ 称为 $x$ 关于 $C$ 的极线(Pole Line), $x$ 称为直线 $l$ 关于 $C$ 的极点(Pole Point)。 二次曲线 $C$ 上的点 $x$ 关于 $C$ 的极线是过该点的切线 $l$ ,而切线 $l$ 关于 C 的极点是切点 $x$ 。由二次曲线 $C$ 所确定的这种点与直线之间的对应关系称为二次曲线的极对应。可以证明:非退化二次曲线的极对应是点与直线之间的一一对应。 这种极对应,也可以给出它的几何描述: 命题 1.1.5 点 $x$ 关于 $C$ 的极线 $l = x x$ 交 $C$ 于两个点(可能是虚点,或重点),且 $C$ 在这两个交点的切线交于点 $x$ 。(如图 1.1.2 所示) 证明 直线 $l$ 与二次曲线 $C$ 总交于二个点,交点的坐标是方程组 $\left\{\begin{array}{c} y ^T C y =0
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