最后更新: 2025-01-23 09:00 查看: 162 次纠错评论(0) 课件开VIP

二维射影变换

射影变换（Projective Transformation）是射影平面上的可逆齐次线性变换，这个变换可由 $3 \times 3$ 的矩阵 $H$ 来描述：

$$
\left(\begin{array}{l}
x_1^{\prime} \\
x_2^{\prime} \\
x_3^{\prime}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
h_{11} & h_{12} & h_{13} \\
h_{21} & h_{22} & h_{23} \\
h_{31} & h_{32} & h_{33}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)
$$

或更简略地记为 $x ^{\prime}= H x$ 。
射影变换有时又称为单应(Homography)，而矩阵 H 称为射影变换矩阵或称为单应矩阵。
由于变换是齐次的(点使用了齐次坐标)，所以同一个射影变换矩阵 H 可以相差一个非零常数因
子，因此射影变换仅有 8 个自由度，即射影变换矩阵可由它的元素所构成的 8 个比值唯一确定

![图片](/uploads/2025-01/89dc4d.jpg)
 
 图 1．1．2：投影中心不在物体平面上的中心投影（Central Projection）是一个射影变换，因为它可以用一个 $3 \times 3$ 的可逆矩阵来描述（第 2 章有详细的讨论）。中心投影将物体平面上的点投影到图像平面上得到像点，像点是物体平面点与投影中心的连线与像平面的交点，物体平面点到像点之间的变换是一个射影变换。物体平面上的无穷远点的像点是该无穷远点与投影中心的连线（平行于物体平面）与像平面的交点，一般地该交点是像平面上的有限点（即该点在图像平面中的齐次坐标的第三个分量不为零）。物体平面上的无穷远线的像是通过投影中心且平行于物体平面的平面与像平面的交线，一般地它是像平面上的一条有限直线。

射影变换将平面上的点变换到点，并且保持点的共线性质，即将平面上的直线变为直线 （如图 1．1．2 所示）。任何射影变换的逆变换（对应于单应矩阵的逆）都是射影变换，任意两个的合成（对应于两个单应矩阵的积）都是射影变换（如图 1．1．3 所示），因此射影变换的全体构成射影平面上的一个变换群（Group of Transformation）。
 ![图片](/uploads/2025-01/588a79.jpg)
 上图中第一个中心投影变换是 H，第二个中心投影变换是 G，由这两个投影得到
一个从第一个像平面到第二个像平面的变换是 F。由于 H，G 都是射影变换，它们的逆变换
是像点沿投影线反投到物体平面上的点，对应的变换矩阵分别是 H 与 G 的逆矩阵，因此逆
变换也是射影变换。变换 F 是 H 的逆变换与变换 G 的合成，它可以用 3 × 3 的可逆矩阵
−1 GH 来描述，所以也是一个射影变换。但它不再是中心投影变换而是一般的投影变换。
如果被变换点 $x$ 是欧氏坐标系下的齐次坐标，则无穷远点 $x _{\infty}=\left(x_1, x_2, 0\right)^T$ 的射影变换是

$$
x _{\infty}^{\prime}=H x _{\infty}=\left(h_{11} x_1+h_{12} x_2, h_{21} x_1+h_{22} x_2, h_{31} x_1+h_{32} x_2\right)^T
$$

一般地，$h_{31} x_1+h_{32} x_2 \neq 0$ ，这样无穷远点变换后的坐标不再有第 3 个分量为零的形式。事实上，射影变换（1．1．10）等价于坐标基的变换，变换后的坐标基称为射影坐标基（见 1．2．7 节）。上述观察等价于无穷远点在一般坐标基下，第 3 个分量不为零。由于射影几何是讨论射影变换群下的不变几何性质的理论，这就是在研究射影性质时不使用无穷远点术语而把无穷远点和非无穷远点同等对待的理由。以后，将会看到在计算机视觉中无穷远点具有特别重要的作用，所以在本书中仍使用无穷远点的术语。

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