最后更新: 2025-01-23 09:01 查看: 111 次纠错评论(0) 课件开VIP

射影变换矩阵 H 的计算

射影变换矩阵 $H$ 的计算 本书第二章将要详细介绍计算射影变换 $H$ 的方法，这里只简要地陈述如何由点对应计算 $H$ 。满足式（1．1．10）的点对 $x \leftrightarrow x^{\prime}$ 称为射影变换的一个点对应。给定点对应的齐次坐标，例如写成形式 $x =\left(x_1, x_2, 1\right)^T, x ^{\prime}=\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, 1\right)^T$ ，由于式（1．1．10）是一个齐次等式，它表示在相差一个常数因子的意义下相等，因此有：

$$
s\left(\begin{array}{c}
x_1^{\prime} \\
x_2^{\prime} \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
h_{11} & h_{12} & h_{13} \\
h_{21} & h_{22} & h_{23} \\
h_{31} & h_{32} & h_{33}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
1
\end{array}\right)
$$

其中 $s$ 为末知的齐次因子。消去上式中的齐次因子 $s$ ，可得到关于 $H$ 的两个线性齐次方程：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1^{\prime}\left(h_{31} x_1+h_{32} x_2+h_{33}\right)=h_{11} x_1+h_{12} x_2+h_{13} \\
x_2^{\prime}\left(h_{31} x_1+h_{32} x_2+h_{33}\right)=h_{21} x_1+h_{22} x_2+h_{23}
\end{array}\right.
$$

这样，由一个点对应 $x \leftrightarrow x ^{\prime}$ 就可得到关于 $H$ 的两个线性方程。由于 $H$ 只需要确定到相差一个常数倍的程度，所以从 4 个点对应所构成的方程组（其中含有 8 个方程）所得到的非零解就是所要计算的射影变换 $H$ 。

从上面的讨论中可以看出：在一般情况下， 4 个点对应唯一确定一个射影变换。下述命题是更确切的陈述：

命题 1．1．6从 4 个点对应唯一确定射影变换的充要条件是 4 个点对应中任意三点不共线，并且可以通过下述公式计算这个射影变换：

$$
H=s_4\left( x _1^{\prime}, x _2^{\prime}, x _3^{\prime}\right) \operatorname{diag}\left(\frac{p_1^{\prime}}{p_1}, \frac{p_2^{\prime}}{p_2}, \frac{p_3^{\prime}}{p_3}\right)\left( x _1, x _2, x _3\right)^{-1}
$$

其中：$\left(p_1, p_2, p_3\right)^T=\left( x _1, x _2, x _3\right)^{-1} x _4,\left(p_1^{\prime}, p_2^{\prime}, p_3^{\prime}\right)^T=\left( x _1^{\prime}, x _2^{\prime}, x _3^{\prime}\right)^{-1} x _4^{\prime}$ 。
证明由于 $x_j \leftrightarrow x_j^{\prime},(1 \leq j \leq 4)$ 是 4 个点对应，所以存在常数 $s_j(1 \leq j \leq 4)$ 使得

$$
s_j x_j^{\prime}=H x_j,(1 \leq j \leq 4)
$$

充分性：由式（1．1．13），可得到：

$$
H\left( x _1, x _2, x _3\right)=\left(s_1 x _1^{\prime}, s_2 x _2^{\prime}, s_3 x _3^{\prime}\right)=\left( x _1^{\prime}, x _2^{\prime}, x _3^{\prime}\right) \operatorname{diag}\left(s_1, s_2, s_3\right)
$$

于是，
$$
H=\left( x _1^{\prime}, x _2^{\prime}, x _3^{\prime}\right) \operatorname{diag}\left(s_1, s_2, s_3\right)\left( x _1, x _2, x _3\right)^{-1}
$$

由 $s_4 x _4^{\prime}=H x _4$ ，得到：

$$
\left( x _1^{\prime}, x _2^{\prime}, x _3^{\prime}\right) \operatorname{diag}\left(s_1, s_2, s_3\right)\left( x _1, x _2, x _3\right)^{-1} x _4=s_4 x _4^{\prime}
$$

所以，

$$
\operatorname{diag}\left(s_1, s_2, s_3\right)\left( x _1, x _2, x _3\right)^{-1} x _4=s_4\left( x _1^{\prime}, x _2^{\prime}, x _3^{\prime}\right)^{-1} x _4^{\prime}
$$

令

$$
p =\left( x _1, x _2, x _3\right)^{-1} x _4=\left(\begin{array}{c}
p_1 \\
p_2 \\
p_3
\end{array}\right), \quad p ^{\prime}=\left( x _1^{\prime}, x _2^{\prime}, x _3^{\prime}\right)^{-1} x _4^{\prime}=\left(\begin{array}{l}
p_1^{\prime} \\
p_2^{\prime} \\
p_3^{\prime}
\end{array}\right)
$$

则对任意的 $p_j$ 必有 $p_j \neq 0$ 。否则，例如：$p_1=0$ ，则有

$$
x _4=\left( x _1, x _2, x _3\right)\left(\begin{array}{c}
0 \\
p_2 \\
p_3
\end{array}\right)=p_2 x _2+p_3 x _3
$$

因此 $x _2, x _3, x _4$ 共线，矛盾。于是，$s_j=\frac{s_4 p_j^{\prime}}{p_j},(1 \leq j \leq 3)$ ，将它代入式（1．1．14）可得式（1．1．12）。
必要性：反证：若存在三个共线点，不妨假定 $x _j(1 \leq j \leq 3)$ 是三个共线点，则必有

$$
x _3=a x _1+b x _2
$$

于是，

$$
\lambda H x_3=a H x_1+b H x_2
$$

因此，（1．1．13）中至多有三组方程是独立的，故不可能在相差一个常数因子的意义下确定单应矩阵 $H$ 。证毕。

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