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直线与二次曲线的射影变换

射影变换（1．1．10）是由点的变换规则来定义的，下面讨论在这个射影变换下直线与二次曲线的变换规则。

令 $l$ 是平面上的一条直线，$l^{\prime}$ 是经过射影变换后的直线。由于 $\forall x \in l, x^{\prime}=H x \in l^{\prime}$ ，所以有

$$
l ^T x^{\prime}= l ^T H x=0
$$

因此， $l ^T= l ^T H$ ，即 $l ^{\prime}=H^{-T} l$ 。射影变换 $H^{-T}$ 称为变换 $H$ 的对偶。于是，直线的变换规则由点变换的对偶给出。以后，说射影变换 $H$ 均是指满足点变换规则（1．1．10）的射影变换。

命题 1．1．7 射影变换 $H$ 对直线的变换规则，由 $H$ 的对偶所确定：

$$
l^{\prime}=H^{-T} l
$$

令 $C$ 是平面上的一条二次曲线，$C^{\prime}$ 是经过射影变换后的曲线。由于 $\forall x \in C$ ， $x^{\prime}=H x \in C^{\prime}$ ，所以有

$$
x ^T C x = x ^T H^{-T} C H^{-1} x ^{\prime}=0
$$

这样，必有 $C^{\prime}=H^{-T} C H^{-1}$ 。因此，二次曲线 $C$ 经过射影变换后仍是一条二次曲线。
设 $D$ 是一个可逆矩阵，则称矩阵变换 $Y=D X D^T$ 为合同变换。因此，射影变换 $H$ 对二次曲线的变换规则是对偶合同。

命题 1．1．8 射影变换 $H$ 对二次曲线的变换规则，由 $H$ 的对偶合同所确定：

$$
C^{\prime}=H^{-T} C H^{-1}
$$

应用对偶原理，有下述命题：
命题 1．1．9 射影变换 $H$ 关于对偶二次曲线 $C^*$ 的变换规则，由 $H$ 合同所确定：

$$
C^{* \prime}=H C^* H^T
$$

二次曲线的射影分类
 ![图片](/uploads/2025-01/da7e42.jpg)
 
 二次曲线由对称矩阵 $C$ 来表示，根据附录 A2．2 关于对称矩阵的特征分解理论，不难证明对任意对称矩阵 $C$ ，必存在可逆矩阵 $H$ 使得

$$
H^{-T} C H^{-1}=\operatorname{diag}\left(s_1, s_2, s_3\right)
$$

其中 $s_j= \pm 1$ ，或 0 。根据二次曲线的变换规则，任何二次曲线 $C$ 都可以通过射影变换变为具有上述对角矩阵形式的二次曲线。因此，得到二次曲线的表 1．1．1 的射影分类。

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