最后更新: 2025-01-23 09:04 查看: 135 次纠错评论(0) 课件开VIP

相似变换群与不变量

相似变换群
相似变换（Similarity Transformation）是等距变换与均匀伸缩变换的合成，相似变换顾名思义，它是保持图形相似的变换。在初等几何中，相似分为旋转相似（保向）和对称相似（逆向）。旋转相似是欧氏变换与均匀伸缩变换的合成，而对称相似是反射等距变换与均匀伸缩变换的合成。在计算机视觉中最关心的是旋转相似，它可用下面的矩阵形式来表示：

$$
\left(\begin{array}{c}
x^{\prime} \\
y^{\prime} \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
s \cos \theta & -s \sin \theta & x_0 \\
s \sin \theta & s \cos \theta & y_0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
1
\end{array}\right) \quad\left(x^{\prime}=H_s x=\left(\begin{array}{cc}
s R & t \\
0 & 1
\end{array}\right) x\right)
$$

其中 $s$ 是均匀伸缩因子。
旋转相似变换有 4 个自由度，因为它比欧氏变换多一个均匀伸缩因子。 2 个点对应可确定相似变换。相似变换的全体也构成一个群，通常称为相似变换群。

旋转相似变换是相似变换群的子群，而欧氏群又是它的子群。非旋转相似变换不构成相似变换群的子群。

相似不变量 相似变换群的不变量有：两直线的夹角，长度的比值，面积的比值。
下面的命题是非常重要的，因为它在计算机视觉中扮演着非常重要的角色。
命题 1．1．11（1）射影变换 $H$ 保持圆环点不变的充要条件是 $H$ 为相似变换；（2）射影变换 $H$ 保持对偶二次曲线 $C_{\infty}^*$ 不变的充要条件是 $H$ 为相似变换。

证明（1）：因为

$$
\left(\begin{array}{ccc}
s \cos \theta & -s \sin \theta & x_0 \\
s \sin \theta & s \cos \theta & y_0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
1 \\
i \\
0
\end{array}\right)=s e^{i \theta}\left(\begin{array}{l}
1 \\
i \\
0
\end{array}\right)= I
$$

所以，相似变换保持圆环点不变。类似地，可证对另一个圆环点也保持不变。反之，如果

$$
H\left(\begin{array}{l}
1 \\
i \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llc}
a & b & x_0 \\
c & d & y_0 \\
e & f & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
1 \\
i \\
0
\end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{l}
1 \\
i \\
0
\end{array}\right)
$$

则必有

$$
a+i b=\lambda, c+i d=i \lambda, e-i f=0
$$

最后一式表明 $e=f=0$ 。令 $\lambda=\lambda_1+i \lambda_2$ ，则前两式变成
 
 $$
a=\lambda_1, b=\lambda_2, c=-\lambda_2, d=\lambda_1
$$

令

$$
s=\sqrt{\lambda_1^2+\lambda_2^2}, \cos \theta=\frac{\lambda_1}{\sqrt{\lambda_1^2+\lambda_2^2}}, \sin \theta=-\frac{\lambda_2}{\sqrt{\lambda_1^2+\lambda_2^2}}
$$

则有

$$
H=\left(\begin{array}{lll}
a & b & x_0 \\
c & d & y_0 \\
e & f & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
s \cos \theta & -s \sin \theta & x_0 \\
s \sin \theta & s \cos \theta & y_0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

因此，$H$ 是一个相似变换。
（2）；可由对偶原理从（1）直接得到，因为相似变换 $H$ 的对偶 $H^{-T}$ 仍是一个相似变换。证毕。

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