最后更新: 2025-01-23 09:05 查看: 63 次纠错评论(0) 课件开VIP

仿射变换群

仿射变换（Affine Transformation）可用矩阵表示为

$$
\left(\begin{array}{c}
x^{\prime} \\
y^{\prime} \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llc}
a & b & x_0 \\
c & d & y_0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
1
\end{array}\right) \quad\left(x^{\prime}=H_a x=\left(\begin{array}{ll}
A & t \\
0 & 1
\end{array}\right) x\right)
$$

其中 $A$ 是一个 2 阶可逆矩阵。仿射变换有 6 个自由度， 3 个点对应可确定仿射变换。
仿射变换的全体也构成一个变换群，称为仿射变换群。相似变换是它的子群。
仿射变换的分解 除平移变换外，只须对矩阵 $A$ 进行分解。对矩阵 $A$ 作奇异值分解 （SVD 分解，见附录 A3．2），我们得到 $A=U D V^T$ ，其中 $U, V$ 是正交矩阵，$D$ 是对角元为正数的对角矩阵

$$
D=\left(\begin{array}{ll}
s_x & \\
& s_y
\end{array}\right)
$$

由此可以看出，仿射变换是一个等距变换 $V^T$ ，一个非均匀伸缩变换 $D$ 以及另一个等距变换 $U$的合成，因此它与相似变换的差别在于非均匀伸缩。仿射变换（1．1．21）是否保向，根据矩阵 $A$的行列式 $\operatorname{det}(A)$ 是否大于零来确定。这只要将 $A$ 写成 $A=\left(U V^T\right)\left(V D V^T\right)$ 就可以看出这一点，因为 $\left(V D V^T\right)$ 总是一个保向的变换（不论 $V$ 是否为旋转矩阵），$\left(U V^T\right)$ 是否保向是由它的行列式是否为 +1 （即是否为旋转矩阵）来确定，而行列式 $\operatorname{det}(A)$ 的符号与 $\left(U V^T\right)$ 的符号是一致的。所有的保向仿射变换构成仿射变换群的子群，而旋转（保向）相似变换群又是它的子群。

仿射变换的另一种分解。对 $A$ 作 QR 分解（见附录 A 1.3 ）：$A=U K$ ，其中 $U$ 是一个正交阵， $K$ 是一个对角元素均大于零的上三角阵：

$$
K=\left(\begin{array}{ll}
s_x & e \\
& s_y
\end{array}\right)
$$

再对 $K$ 再作如下分解 $K=\left(\begin{array}{ll}s_x & \\ & s_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & e / s_x \\ & 1\end{array}\right)=D P$ ，于是仿射变换可以表示为

$$
\binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=U D P\binom{x}{y}+\binom{x_0}{y_0}
$$

变换 $P=\left(\begin{array}{cc}1 & e / s_x \\ 1 & 1\end{array}\right)$ 通常称为推移变换（如图 1．1．4 所示）。因此，一个仿射变换（除一个平移变换外）是推移变换，非均匀伸缩变换与正交变换的合成。
 ![图片](/uploads/2025-01/76e8e4.jpg)

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