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仿射不变量

仿射不变量 关于仿射变换群的不变量有：平行线段长度的比值不变，面积的比值不变。另外，在计算机视觉中经常用到的一个结论是下述命题：

命题 1．1．12 射影变换 $H$ 保持无穷远直线不动的充要条件是 $H$ 为仿射变换＂。
证明 令 $H=\left(\begin{array}{cc}A & t \\ 0^T & 1\end{array}\right)$ 是仿射变换，则根据射影变换对线的变换规则（命题 1．1．6），可知：

$$
l ^{\prime}=H^{-T} l _{\infty}=\left(\begin{array}{cc}
A^{-T} & 0 \\
- t A^{-T} & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right)= l _{\infty}
$$

反之，若射影变换变换 $H=\left(\begin{array}{rr}A & a \\ b ^T & 1\end{array}\right)$ 使得

$$
\left(\begin{array}{cc}
A & a \\
b ^T & 1
\end{array}\right)^{-T}\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
$$

则必有 $b =0$ 。因此，$H$ 为仿射变换。证毕。
二次曲线的仿射分类 对于（非退化）二次曲线在欧氏变换群下的等价类是椭圆，抛物线与双曲线三类，这样的分类对仿射变换群仍然有效。椭圆与无穷远直线没有实交点，抛物线与无穷远直线相切，即有两个接融点，双曲线与无穷远直线有两个实交点。由于仿射变换保持无穷远直线不动且保持交点性质不变（实变实，虚变虚），所以前面的性质是仿射不变的，因此二次曲线的仿射分类仍然是：椭圆，抛物线与双曲线三类。

射影变换群
在 1．1．3 节已讨论过射影变换，与其它变换一样将它写成分块矩阵的形式：

$$
x^{\prime}=H x=\left(\begin{array}{cc}
A & t \\
v ^T & k
\end{array}\right) x
$$

当 $k \neq 0, H$ 可分解为

$$
H=\left(\begin{array}{cc}
s R & t / k \\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
K & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
v^T & k
\end{array}\right)
$$

其中 $K$ 是行列式等于 1 的且对角元素均大于零的上三角矩阵，$R$ 是正交矩阵。
显然，$H_p=\left(\begin{array}{cc}I & 0 \\ v^T & k\end{array}\right)$ 是改变无穷远线的射影变换；$H_a=\left(\begin{array}{cc}K & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 是保持面积比不变的仿射变换；$H_s=\left(\begin{array}{cc}s R & t / k \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 是相似变换。

式（1．1．23）是不难证明的：因为

$$
H\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
v ^T & k
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
A & t \\
v ^T & k
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
- v ^T / k & 1 / k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A- t v ^T / k & t / k \\
0^T & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
s R K & t / k \\
0^T & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
s R & t / k \\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
K & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$

倒数第二个等式，是利用 QR 分解并将分解中的上三角矩阵行列式归一化所得的结果。所以有

$$
H=\left(\begin{array}{cc}
s R & t / k \\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
K & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
v ^T & k
\end{array}\right)
$$

倒数第二个等式，是利用 QR 分解并将分解中的上三角矩阵行列式归一化所得的结果。所以有

$$
H=\left(\begin{array}{cc}
s R & t / k \\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
K & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
v ^T & k
\end{array}\right)
$$

与仿射变换不同的是射影变换不再有保向与逆向之分，这是因为一般的射影变换将无穷远直线 $l_{\infty}$ 变到一条有限直线 $l_{\infty}^{\prime}$ ，在源平面上的两个有序图形，如果被变换到直线 $l_{\infty}^{\prime}$ 的两侧，则必存在一个图形与原来的图形反序，而另一个图形与原来的同序。如图 1．1．5 所示。
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