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射影不变量

射影不变量 基本射影不变量是四共线点的交比。
关于共线点的交比，在 1．1．1 节已给出定义，这里将作更详细的讨论。 如果线 $l$ 上 4 个点 $x _1, x _2, x _3, x _4$ 的齐次坐标为 $x _j=\left(x_{1 j}, x_{2 j}\right)^T$ ，则这 4 个点的交比是

$$
\left( x _1, x _2 ; x _3, x _4\right)=\frac{\operatorname{det}\left( x _1, x _3\right)}{\operatorname{det}\left( x _2, x _3\right)}: \frac{\operatorname{det}\left( x _1, x _4\right)}{\operatorname{det}\left( x _2, x _4\right)}
$$

4 点交比在一维射影变换下是不变的（如图 1．1．6 所示），换句话说交比的定义不依赖于直线 $I$ 的坐标系的选择。

所谓一维射影变换，在代数上与二维射影变换类似，是指线 $I$ 上的可逆齐次线性变换，这个变换由 $2 \times 2$ 的矩阵 $H$ 来描述：

$$
\binom{x_1^{\prime}}{x_2^{\prime}}=\left(\begin{array}{ll}
h_{11} & h_{12} \\
h_{21} & h_{22}
\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}
$$

显然 $\operatorname{det}\left( x _i^{\prime}, x _j^{\prime}\right)=\operatorname{det}\left(H x _i, H x _j\right)=\operatorname{det}(H) \operatorname{det}\left( x _i, x _j\right)$ ，而 $\operatorname{det}(H)$ 在交比的比值中自动消除。因此一维射影变换保持交比不变。

如果 4 个点都是有限点，则可以将它们第二个坐标归一化，写成 $x _j=\left(x_{1 j}, 1\right)^T$ ，则 $\operatorname{det}\left( x _i, x _j\right)=x_{1 i}-x_{1 j}$ ，它表示两点之间的有向距离。这样，就可以通过有向距离来计算交比。
 ![图片](/uploads/2025-01/dbc700.jpg)
 图 1.1.7：平面上 4 个共线点的有限点的交比可以通过它们的非齐次坐标分量来计算，
因为直线点到坐标轴的投影是一维射影变换。

在平面上，任何二维射影变换 $H$ 都可以诱导出直线的一维射影变换，由此，立即得到平面射影变换保持交比不变的结论。下面提供了一种诱导一维射影变换方法。在直线 $I$ 上取两个不同的点，并给定齐次坐标 $x _1, x _2$ 。令 $x _j^{\prime}=H x _j(j=1,2)$ ，如线参数化那样（见 1．1．1 节）利用下式：

$$
x =u x _1+v x _2=\left( x _1, x _2\right)\binom{u}{v}, \quad x ^{\prime}=u^{\prime} x _1^{\prime}+v^{\prime} x _2^{\prime}=\left( x _1^{\prime}, x _2^{\prime}\right)\binom{u^{\prime}}{v^{\prime}}
$$

定义点 $x$ 和对应点 $x ^{\prime}$ 的齐次坐标分别为 $\binom{u}{v},\binom{u^{\prime}}{v^{\prime}}$ ，于是我们有

$$
\left( x _1^{\prime}, x _2^{\prime}\right)\binom{u^{\prime}}{v^{\prime}}= x ^{\prime}=H x =H\left( x _1, x _2\right)\binom{u}{v}
$$

因此，

$$
\binom{u^{\prime}}{v^{\prime}}=\left( x _1^{\prime}, x _2^{\prime}\right)^{+} H\left( x _1, x _2\right)\binom{u}{v}=\hat{H}\binom{u}{v}
$$

$\hat{H}=\left( x _1^{\prime}, x _2^{\prime}\right)^{+} H\left( x _1, x _2\right)$ 是一个 2 阶可逆矩阵（这里矩阵的上标＂+ ＂表示矩阵的广义逆），且它对线 $I$ 的作用与 $H$ 对线 $I$ 的作用是相同的。因此，它是由 $H$ 在线 $I$ 上诱导的一维射影变换。

如果 4 个共线点是平面上的有限点，我们不需要通过线参数化，再利用式（1．1．24）计算交比。因为此时可以将点的第三个坐标归一化，写成 $x _j=\left(x_j, y_j, 1\right)^T$ ，于是 $x_j\left(y_j\right)$ 是沿 $y(x)$ 方向在轴 $x(y)$ 上的投影（如图 1．1．7 所示），而投影变换（直线到坐标轴的投影）是一维射影变换，因此 4 点的交比与它们在各坐标轴上的投影点的交比相同。也就是说，我们可以通过非齐次坐标分量来计算平面上共线点的交比。

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