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三维射影几何-点的齐次坐标

假定在空间建立了欧氏坐标系，空间每一点的欧氏坐标记为 $\tilde{ X }=(x, y, z)^T$ ，令

$$
\frac{x_1}{x_4}=x, \frac{x_2}{x_4}=y, \frac{x_3}{x_4}=z, x_4 \neq 0
$$

则空间每一点有（欧氏）齐次坐标 $X =\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)^T$ 。当 $s \neq 0$ 时，$s X$ 与 $X$ 表示空间同一点的齐次坐标，即空间点的齐次坐标可以相差一个非零常数因子。如果令 $x_4 \rightarrow 0$ ，则有
$$
x=\frac{x_1}{x_4} \rightarrow \infty, y=\frac{x_2}{x_4} \rightarrow \infty, z=\frac{x_3}{x_4} \rightarrow \infty
$$

因此，定义齐次坐标 $x_4=0$ 点为无穷远点。
这样，只要 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 不同时为零， $X =\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)^T$ 就代表扩展空间（包括所有无穷远点的三维空间）中的一个点，反之扩展空间中的每一点都可以用不同时为零的 4 个数构成的齐次坐标 $X =\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)^T$ 来表示；当 $x_4 \neq 0$ 时代表有限点（非无穷远点），$x_4=0$ 时代表无穷远点。称这样扩展的三维空间为三维射影空间（Projective Space）。

1．2．2 平面的齐次坐标
在三维射影空间中，平面方程可以写成

$$
\pi_1 x+\pi_2 y+\pi_3 z+\pi_4 w=0
$$

其中 $X =(x, y, z, w)^T$ 表示空间点的齐次坐标。称 4 维矢量 $\pi=\left(\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4\right)^T$ 为该平面的齐次坐标。显然，方程（1．2．1）两边同乘以一个非零因子仍表示该平面，所以平面的坐标 $\pi$ 仅依赖于三对独立的比值 $\left\{\pi_1: \pi_2: \pi_3: \pi_4\right\}$ ，也就是说平面在三维空间中有 3 自由度。方程（1．2．1）可以写成更简洁的形式

$$
\pi^T X =0
$$

如果 $\pi=(0,0,0,1)^T$ ，则方程 $(1.2 .2)$ 的解集为

$$
\left\{ X =\left(\widetilde{ X }^T, 0\right) \mid \widetilde{ X } \in R^3-\{0\}\right\}
$$

即所有无穷远点所构成的集合。因此，称平面 $\pi=(0,0,0,1)^T$ 为无穷远平面，并记为 $\pi_{\infty}$
如果 $\pi \neq \pi_{\infty}$ ，则该平面上的有限点 $X =\left(\tilde{ X }^T, 1\right)^T$ 满足方程：

$$
n ^T \tilde{ X }+d=0
$$

其中 $n =\left(\pi_1, \pi_2, \pi_3\right)^T, \quad d=\pi_4,|d| /\| n \|$ 是坐标原点到该平面的距离。不难看出这就是欧氏几何中的平面法式方程。该平面上的无穷远直线由下述方程给出：

$$
n ^T \tilde{ X }=\pi^T\binom{\tilde{ X }}{0}=0
$$

即平面 $\pi$ 法向量 $n$ 是该平面上无穷远直线的表示。
不难得到下述结论：
－两平面平行的充要条件为它们的交线是一条无穷远直线；
－线与线（面）平行的充要条件是它们相交于无穷远点。
三点确定一个平面
假定三点 $X _j, j=1,2,3$ 是平面 $\pi$ 上的三个点，则必有

$$
\left(\begin{array}{l} 
X _1^T \\
X _2^T \\
X _3^T
\end{array}\right) \pi=0
$$
如果三点 $X _1, X _2, X _3$ 不共线（此时称三点处于一般位置），则方程（1．2．3）中系数矩阵的秩必为 3，此时平面 $\pi$ 是系数矩阵的一维（右）零空间的元素（相差一个齐次因子），因此一般位置上的三个点唯一确定一个平面。如果三点 $X _1, X _2, X _3$ 共一条直线 $L$ ，则系数矩阵秩为 2 ，因此系数矩阵有二维（右）零空间，所以此时不能唯一确定平面 $\pi$ 。实际上，通过直线 $L$ 的所有平面都满足方程（1．2．3），即方程（1．2．3）确定了以直线 $L$ 为轴的平面束。

假定三点 $X _1, X _2, X _3$ 处于一般位置，令 $X =(x, y, z, w)^T$ 是这三个点所确定的平面 $\pi$ 上的任一点，则 $X$ 是 $X _1, X _2, X _3$ 的线性组合，即 $\operatorname{det}\left( X , X _1, X _2, X _3\right)=0$ ，而

$$
\operatorname{det}\left( X , X _1, X _2, X _3\right)=x d_{234}-y d_{134}+z d_{124}-w d_{123}
$$

其中 $d_{j k l}$ 是由矩阵 $\left( X _1, X _2, X _3\right)$ 组成的第 $j, k, l$ 行构成的行列式。所以我们得到

$$
\pi=\left(d_{234},-d_{134}, d_{124},-d_{123}\right)^T
$$

这是方程（1．2．3）的解向量。
如果三点 $X _1, X _2, X _3$ 是有限远点，则它的齐次坐标可以写成下面的形式：

$$
X _1=\binom{\tilde{ X }_1}{1}, X _2=\binom{\tilde{ X }_2}{1}, X _3=\binom{\tilde{ X }_3}{1}
$$

根据式（1．2．4），它们所确定的平面为

$$
\pi=\binom{\left(\tilde{X}_1-\tilde{ X }_3\right) \times\left(\tilde{ X }_2-\tilde{ X }_3\right)}{-\widetilde{ X }_3^T\left(\tilde{ X }_1 \times \widetilde{ X }_2\right)}
$$

这与欧氏几何中的结果是一致的，例如平面 $\pi$ 的法向量由 $n=\left(\widetilde{X}_t-\widetilde{X}_3\right) \times\left(\widetilde{X}_2-\widetilde{X}_3\right)$ 来计算。

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