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射影几何
三个平面确定一点
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2025-01-23 09:08
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三个平面确定一点
在空间中点与面是对偶的,而线是自对偶的。将式(1.2.3)中的点,面的角色对换,我们有 $$ \left(\begin{array}{c} \pi_1^T \\ \pi_2^T \\ \pi_3^T \end{array}\right) X =0 $$ 如果三个面 $\pi_1, \pi_2, \pi_3$ 不共线(此时称三个面处于一般位置),则其系数矩阵的秩必为 3 ,此时点 $X$ 是方程(1.2.6)系数矩阵的一维(右)零空间中的元素,因而能被唯一地确定(相差一个齐次因子),因此一般位置上的三个面唯一确定一个点(有可能是无穷远点)。如果三个面 $\pi_1, \pi_2, \pi_3$ 共一条直线 $L$ ,则方程(1.2.6)系数矩阵的秩为 2 ,此时系数矩阵有二维(右)零空间,因而不能唯一确定点 $X$ ,实际上在直线 $L$ 上的所有点都满足方程(1.2.6)。如果三个面 $\pi_1, \pi_2, \pi_3$ 处于一般位置,就可以得到由系数矩阵的 3 阶子行列式来计算点 $X$ 的与式(1.2.4)类似的公式。 平面点的参数化 空间平面 $\pi$ 上的点仅有两个自由度,如果将空间平面 $\pi$ 上的点 $X$ 作为一个射影平面上的点,则点 $X$ 可以用三维向量 $x$ 来表示,三维向量 $x$ 称为平面 $\pi$ 上的点 $X$ 的参数化表示。 给定平面 $\pi$ 上不共线三个点的齐次坐标 $X _1, X _2, X _3$ ,则对于平面 $\pi$ 上的任一点 $X$ 可以表示成 $$ X =\alpha X _1+\beta X _2+\gamma X _3=\left( X _1, X _2, X _3\left(\begin{array}{l} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right)\right. $$ 这样,就得到了平面 $\pi$ 上的点 $X$ 的一种参数化表示 $x =(\alpha, \beta, \gamma)^T$ ,有时也称它为平面点的二维齐次坐标。显然平面点的参数化不是唯一的。
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