最后更新: 2025-01-23 09:09 查看: 119 次纠错评论(0) 课件开VIP

直线的表示

在三维空间中，直线不如点，面那样可以非常简单地用一个四维向量（齐次坐标）来表示，因为三维空间中的直线有 4 个自由度。下面我们主要介绍直线的若干种表示方法。

直线的点表示与面表示
下面以点为基本几何元素来表示直线，即将直线作为两个点的连线。
假定 $X _1, X _2$ 是空间中两个不重合点，令 $W$ 为由这两个点的齐次坐标作为行的一个 $2 \times 4$ 矩阵 $W=\binom{ X _1^T}{ X _2^T}$ 。于是，有下述结论：
－点束 $L =\left\{\left. X =W^T\binom{\alpha}{\beta} \right\rvert\,(\alpha, \beta) \in R^2\right\}$ 是连结这两个空间点的一条直线（通常，简述为矩阵 $W$ 生成直线 $L$ ；
－矩阵 $W$ 的二维右零空间是以直线 $L$ 为轴的平面束（因为右零空间中的每一平面都通过这两个空间点，因此连结这两点的直线 $L$ 必在此平面上）。

由线 $L$ 上的另外两点 $X _1^{\prime}, X _2^{\prime}$ 所定义的 $W^{\prime}$ 和 $W$ 生成同样的点束，且有相同的右零空间。因此，空间直线 $L$ 可以由它上面的两个点所构成的矩阵 $W$ 来表示。在这种表示下，连结两点的直线 $L$ 也说成是直线 $W$ 。

假定 $\pi_1, \pi_2$ 为 $W$ 右零空间中的两个基向量，则点 $X _1, X _2$ 同时在平面 $\pi_1$ 和平面 $\pi_2$ 上。所以，由 $W$ 定义的直线是它的右零空间中平面的交线 $L$ ，并且以直线 $L$ 为轴的平面束可表示为 $\mu \pi_1+\xi \pi_2$ 。

类似地，也可以用面作为基本几何元素来表示直线，即将线定义为两个平面 $\pi_1, \pi_2$ 的交，即直线的对偶表示。由不重合的面 $\pi_1, \pi_2$ 定义一个 $2 \times 4$ 矩阵 $W^*$ ：
$$
W^*=\binom{\pi_1^T}{\pi_2^T}
$$

显然，有下述结论：
－$\alpha \pi_1+\beta \pi_2=W^{* T}\binom{\alpha}{\beta}$ 是以一条直线 $L$ 为轴的平面束；
－$W^*$ 的二维零空间是一条直线 $L$ 上的点束。
空间中的点 $X$ 和直线 $W$ 按下述方式定义了一个 $3 \times 4$ 矩阵：

$$
M=\binom{W}{ X ^T}
$$

如果点 $X$ 不在直线 $W$ 上，则 $M$ 的零空间是一维的，这个零空间确定一个平面（即没有结合性质的点与线确定一个平面，或者不共线的三点确定一个平面）；如果点 $X$ 在直线 $W$ 上，则 $M$的零空间是二维的。

空间中的直线 $W^*$ 与平面 $\pi$ 也定义一个 $3 \times 4$ 矩阵：

$$
M^*=\binom{W^*}{\pi^T}
$$

如果直线 $W^*$ 不在平面 $\pi$ 上，则 $M *$ 的零空间是一维的，并且这个零空间确定一个点 $X$（即线 $W^*$ 与平面 $\pi$ 的交点）；直线 $W^*$ 在平面 $\pi$ 上，则 $M^*$ 的零空间是二维的。

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