最后更新: 2025-01-23 09:09 查看: 99 次纠错评论(0) 课件开VIP

直线的 Plucker 矩阵

连结两点 $A , B$ 的直线可由下述 Plucker 矩阵 $L$ 表示，

$$
L= A B ^T- B A ^T
$$

它是一个 $4 \times 4$ 反对称矩阵。
平面上两点的连线可表示为 $l = x \times y$ ，因此 $L= A B ^{ T }- B A ^{ T }$ 是二维空间中的直线的向量积表示在三维空间中的推广。连结 $A , B$ 的直线是矩阵 $L$ 的二维零空间所确定的平面束的轴线。

直线的 Plucker 矩阵 $L$ 表示与选取该线上点 $A , B$ 无关。这是因为对于直线上的任何一个不同点 $C$ ，有 $C = A +s B$ ，从而得到

$$
A C^T-C A^T= A \left( A ^T+s B ^T\right)-( A +s B ) A ^T
$$

从这里也可以看出空间直线有 4 个自由度，具体计算如下：反对称矩阵 $L$ 有 6 个非独立的非零元素，但仅有 5 个比率是有意义的，另外 $L$ 满足约束 $\operatorname{det}(L)=0$ ，因此直线的自由度是 4 。

在点变换 $X ^{\prime}=H X$ 下，矩阵 $L$ 的变换为 $L^{\prime}=H L H^T$ 。
直线的对偶 Plucker 表示 $L^*$ 是由两个平面 $P , Q$ 的交所构成：

$$
L^*= P Q ^T- Q P ^T
$$

$L^*$ 与 $L$ 有相似的性质。在点变换 $X ^{\prime}=H X$ 下，矩阵 $L^*$ 的变换为 $L^{*^{\prime}}=H^{-T} L^* H^{-1}$ 。
矩阵 $L^*$ 与 $L$ 有下述关系

$$
l_{12}: l_{13}: l_{14}: l_{23}: l_{24}: l_{34}=l_{34}^*: l_{24}^*: l_{23}^*: l_{14}^*: l_{13}^*: l_{12}^*
$$

关系规则非常简单：对偶和原来元素的下标总包含所有的数字 $\{1,2,3,4\}$ ，如果原来元素的下标是 $i j$ ，那么对偶元素的下标是 $\{1,2,3,4\}$ 中不包含 $i j$ 的数，例如 $12 \mapsto 34$ 。

在直线的 Plucker 矩阵这种表示下，有下述结论：
－如果点 $X$ 不在线 $L$ 上，则它们所确定的平面是 $\pi=L^* X$ ；而 $L^* X =0$ 的充要条件是 $X$ 在线 $L$ 上；
－线 $L$ 和平面 $\pi$ 交点是 $X=L \pi$ ；而 $L \pi=0$ 的充要条件是线 $L$ 在 $\pi$ 上；
－两（或更多）条线 $L_1, L_2$ 的性质可以由矩阵 $M=\left(L_1, L_2, \ldots\right)$ 的零空间得到。例如：三线 $L_1, L_2, L_3$ 共面的充要条件是 $M^T=\left(L_1, L_2, L_3\right)^T$ 有一维零空间。

直线的 Plucker 坐标
Plucker 线坐标是 $4 \times 4$ 反对称 Plucker 矩阵 $L$ 的六个非零元素，即

$$
L =\left(l_{12}, l_{13}, l_{14}, l_{23}, l_{24}, l_{34}\right)
$$

它是齐次 6 维矢量，因而是四维射影空间 $P ^5$ 中的元素。因为 $\operatorname{det} L=0$ ，坐标满足方程

$$
l_{12} l_{34}+l_{13} l_{24}+l_{14} l_{23}=0
$$

反之，如果矢量 $L$ 满足（1．2．12），则它对应于三维空间中的一条直线。
假定两直线 $L , \hat{ L }$ 分别是点 $A , B$ 和 $\hat{ A }, \hat{ B }$ 的连线，定义：

$$
( L \mid \hat{ L })=\hat{l}_{12} l_{34}+l_{12} \hat{l}_{34}+l_{13} \hat{l}_{24}+\hat{l}_{13} l_{24}+l_{14} \hat{l}_{23}+\hat{l}_{14} l_{23}
$$

可以证明：

$$
( L \mid \hat{ L })=\operatorname{det}( A , B , \hat{ A }, \hat{ B })
$$

由于两直线 $L , \hat{ L }$ 相交的充要条件是 4 点 $A , B , \hat{ A }, \hat{ B }$ 共面，而 4 点共面等价于 $\operatorname{det}( A , B , \hat{ A }, \hat{ B })=0$ 。于是，有下述结论：
- 两直线 $L , \hat{ L }$ 相交（即共面）的充要条件是 $( L \mid \hat{ L })=0$ ；
－假定两线 $L , \hat{ L }$ 分别是平面 $P , Q$ 和 $\hat{ P }, \hat{ Q }$ 的交线，则 $(L \mid \hat{L})=\operatorname{det}( P , Q , \hat{ P }, \hat{ Q })$（这是式 1．2．13 的对偶）；
－如果 $L$ 是两平面 $P , Q$ 的交线，$\hat{ L }$ 是两点 $A , B$ 的连线，则有

$$
(L \mid \hat{L})=\left(P^T A\right)\left(Q^T B\right)-\left(Q^T A\right)\left(P^T B\right)
$$

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