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射影几何
二次曲面
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2025-01-23 09:11
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二次曲面
二次曲面由下述方程所定义: $$ X ^T Q X =0 $$ 其中 $Q$ 是 $4 \times 4$ 的对称矩阵。如果 $Q$ 是降秩的,则称它为退化二次曲面,否则称为非退化二次曲面。为了陈述方便,通常用"二次曲面 $Q$"来代替陈述"由对称矩阵 $Q$ 所确定的二次曲面"。  下面是二次曲面的一些与二次曲线相类似的性质: -二次曲面有 9 个自由度,即由它的 10 个不同元素的比值所确定; -在一般位置上的 9 个点可确定一个二次曲面。如果二次曲面是退化的,则可用较少的点来确定; -给定一个二次曲面 $Q$ ,等式 $\pi=Q X$ 定义一个点与平面的对应,通常称为由二次曲面 $Q$ 所确定的极对应。如果二次曲面 $Q$ 是非退化的,则它确定的极对应是点与平面之间的一一对应。在几何上,如果点 $X$ 在二次曲面 $Q$ 上,则它的极平面是点 $X$ 的切平面;如果点 $X$ 不在(非退化)二次曲面 $Q$ 上,则点 $X$ 的极平面是以点 $X$ 为顶点的锥与 $Q$ 的切点所在的平面(如图 1.2.1 所示); -平面 $\pi$ 与二次曲面 $Q$ 的交是一条二次曲线; -在(点)变换 $X ^{\prime}=H X$ 下,(点)二次曲面变换规则是 $$ Q^{\prime}=H^{-T} Q H^{-1} $$ (实)二次曲面的射影分类 由于二次曲面的矩阵 $Q$ 是对称的,所以它可以分解为 $Q=U D U^T$ ,这里 $U$ 是一个实正交矩阵而 $D$ 是一个实对角矩阵。通过对 $U$ 的四列各自进行适当的伸缩,可以将 $Q$ 分解成 $Q=H^{-T} D H^{-1}$ ,这里 $D$ 是对角元素取 0,1 ,或 -1 的对角矩阵,并且使 $D$ 的零对角元素出现在对角线的最后而 +1 出现在前面(如表 1.2.1 所给的那种形式)。由式(1.2.20),二次曲面 $Q$ 通过射影 变换 H,必(射影)等价于二次曲 面 D。因此,对角矩阵 D 的每一种形式代表了二次曲面的一种 射影等价类。 
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