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射影几何
二次曲面的对偶
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2025-01-23 09:13
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二次曲面的对偶
二次曲面的对偶 空间曲面的对偶是指以该曲面的切平面为基本元素在对偶空间(面空间)中所构成的曲面,通常称对偶曲面。下面着重考虑二次曲面的对偶曲面。在一般情况下二次曲面的对偶曲面仍为一个二次曲面。令 $Q$ 是一个二次曲面,它的对偶曲面记为 $Q^*$ ,按照对偶曲面的定义 $Q^*$ 的基本元素是 $Q$ 的切平面,也就是说它是 $Q$ 的所有切平面所构成的平面集合,而 $Q$ 是 $Q$"中的所有平面所形成的包络。由于二次曲面的对偶,尤其是雉面与空间二次曲线的对偶,在本书中有特别的重要性,且考虑到这些概念的抽象性以及一般读者对对偶空间的概念不是特别熟悉,所以,下面将对这些概念作一些讨论,并尽量从几何和代数观点对这些概念进行一些解释。 非退化二次曲面的对偶 考虑非退化二次曲面的对偶。令 $Q$ 是一个非退化的二次曲面,即 $\operatorname{det}(Q) \neq 0$ ,它在(点)空间的方程为 $X ^{ T } Q X =0$ 。根据上面的定义,它的对偶是它的所有切平面构成的集合,下面证明这个集合在对偶空间中也构成一个非退化的二次曲面。为此,任取 $Q$的一个切平面 $\pi$ ,切点为 $X$ ,则必有 $\pi=Q X$ ,因此有 $Q^{-1} \pi= X$ 。又因 $X$ 在平面 $\pi$ 上,所以必有 $\pi^T X =0$ ,于是得到 $\pi^T Q^{-1} \pi=\pi^T X =0$ 。因此,$Q$ 的任一切平面 $\pi$ 必满足方程: $\pi^T Q^{-1} \pi=0$ 。反之,假定平面 $\pi$ 方程:$\pi^T Q^{-1} \pi=0$ 。下面证明平面 $\pi$ 必为 $Q$ 的切平面:令 $X =Q^{-1} \pi$ ,则必有 $\pi=Q X$ 。为了证明 $\pi$ 为 $Q$ 的切平面,现在只须证明点 $X$ 在二次曲面上。由于 $\left.X ^T Q X =\left(Q^{-1} \pi\right)^T \pi\right)=\pi^T Q^{-T} \pi=\pi^T Q^{-1} \pi=0$ ,其中倒数第二个等式利用了 $Q$ 的对称性,因此点 $X$ 在二次曲面 $Q$ 上。从上面的论证我们有下述命题: 命题 1.2.4:非退化二次曲面的对偶 $Q^*$ 仍是二次
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