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二次曲面的对偶

二次曲面的对偶
空间曲面的对偶是指以该曲面的切平面为基本元素在对偶空间（面空间）中所构成的曲面，通常称对偶曲面。下面着重考虑二次曲面的对偶曲面。在一般情况下二次曲面的对偶曲面仍为一个二次曲面。令 $Q$ 是一个二次曲面，它的对偶曲面记为 $Q^*$ ，按照对偶曲面的定义 $Q^*$ 的基本元素是 $Q$ 的切平面，也就是说它是 $Q$ 的所有切平面所构成的平面集合，而 $Q$ 是 $Q$＂中的所有平面所形成的包络。由于二次曲面的对偶，尤其是雉面与空间二次曲线的对偶，在本书中有特别的重要性，且考虑到这些概念的抽象性以及一般读者对对偶空间的概念不是特别熟悉，所以，下面将对这些概念作一些讨论，并尽量从几何和代数观点对这些概念进行一些解释。

非退化二次曲面的对偶 考虑非退化二次曲面的对偶。令 $Q$ 是一个非退化的二次曲面，即 $\operatorname{det}(Q) \neq 0$ ，它在（点）空间的方程为 $X ^{ T } Q X =0$ 。根据上面的定义，它的对偶是它的所有切平面构成的集合，下面证明这个集合在对偶空间中也构成一个非退化的二次曲面。为此，任取 $Q$的一个切平面 $\pi$ ，切点为 $X$ ，则必有 $\pi=Q X$ ，因此有 $Q^{-1} \pi= X$ 。又因 $X$ 在平面 $\pi$ 上，所以必有 $\pi^T X =0$ ，于是得到 $\pi^T Q^{-1} \pi=\pi^T X =0$ 。因此，$Q$ 的任一切平面 $\pi$ 必满足方程： $\pi^T Q^{-1} \pi=0$ 。反之，假定平面 $\pi$ 方程：$\pi^T Q^{-1} \pi=0$ 。下面证明平面 $\pi$ 必为 $Q$ 的切平面：令 $X =Q^{-1} \pi$ ，则必有 $\pi=Q X$ 。为了证明 $\pi$ 为 $Q$ 的切平面，现在只须证明点 $X$ 在二次曲面上。由于 $\left.X ^T Q X =\left(Q^{-1} \pi\right)^T \pi\right)=\pi^T Q^{-T} \pi=\pi^T Q^{-1} \pi=0$ ，其中倒数第二个等式利用了 $Q$ 的对称性，因此点 $X$ 在二次曲面 $Q$ 上。从上面的论证我们有下述命题：

命题 1．2．4：非退化二次曲面的对偶 $Q^*$ 仍是二次曲面，并且 $Q^*=Q^{-1}$ 。
注：非退化二次曲面与其对偶二次曲面是互为对偶的，即有 $\left(Q^*\right)^*=Q$ 。
锥面的对偶 令 $Q$ 是一个锥面，即 $\operatorname{rank}(Q)=3$ ，它是一个退化二次曲面。下面考虑它的对偶 $Q^*$ 。由于 $\operatorname{rank}(Q)=3$ ，则 $Q$ 有一维零空间，并且零空间的元素是锥面 $Q$ 的顶点 $V$ 的齐次坐标，即锥面 $Q$ 的顶点 $V$ 是方程 $Q V =0$ 的非零解。现在考虑 $Q$ 的切平面集合在对偶空间中所构
成的曲面形式。首先注意到：锥面 $Q$ 在顶点 $V$ 处不存在切平面。从代数上也可以看出这一点：由于顶点 $V$ 使得 $Q V =0$ ，而四维零向量不能作为任何平面的齐次坐标，因此锥面 $Q$ 在顶点 $V$ 处不存在切平面。
 ![图片](/uploads/2025-01/e98c7a.jpg)
 参考图 1．2．2：点 $V$ 的对偶在对偶空间中表示一个＂平面＂ $V$ ，即在对偶空间中满足方程 $V^T \pi=0$ 的所有＂点＂$\pi$ 的集合。在锥面母线 $L$ 上的点除顶点外都有相同的切平面 $\pi_L$ ，即母线 $L$ 上所有点的对偶是同一＂点＂$\pi_L$ ，换句话说，母线 $L$ 在对偶空间中被压缩成一个＂点＂ $\pi_L$ 。由于在点空间中平面 $\pi_L$ 过顶点 $V$ ，所以在对偶空间中＂点＂$\pi_L$ 必在＂平面＂ $V$ 上。当母线 $L$ 绕基线 $C$ 运动时，$\pi_L$ 在对偶空间中的轨迹将是＂平面＂ $V$ 上的一条＂点＂曲线。所以，锥面的对偶是一条平面曲线。

下面证明这条曲线是一条二次曲线。令 $X$ 是锥面 $Q$ 上任一异于顶点 $V$ 的点，则它的切平面为 $\pi=Q X$ 。显然，一个点 $Y$ 在母线 $V X$ 上，当且仅当 $Q Y=\pi$ 。令 $\widetilde{ X }=Q^{+} \pi$ ，则它必在母线 $V X$ 上。这是，因为

$$
Q \widetilde{ X }=Q Q^{+} \pi=Q Q^{+} Q X=Q X=\pi
$$

因此，母线的参数方程为 $\widetilde{ X }= V +s X$ 。于是，我们有

$$
\pi^T Q^{+} \pi= X ^T Q^T( V +s X )= X ^T Q X =0
$$

所以，锥面的对偶由下述方程表示：$\left\{\begin{array}{c}\pi^T Q^{+} \pi=0 \\ V^T \pi=0\end{array}\right.$ 。由于 $\operatorname{rank}\left(Q^{+}\right)=3$ ，所以锥面的对偶 $($ 在对偶空间中）是一个锥面与平面的交线，因此它是一条平面曲线。
 
命题 1．2．5：锥面 $Q$ 的对偶在对偶空间中是一条二次曲线，这条二次曲线的支撑面是锥面顶点的对偶，锥面 $Q$ 的母线在对偶空间中被压缩为二次曲线上的一个点。锥面 $Q$ 的对偶可以用下述方程来描述：

$$
\left\{\begin{array}{c}
\pi^T Q^{+} \pi=0 \\
V^T \pi=0
\end{array}\right.
$$

空间二次曲线的对偶 参考图 1．2．3：令平面 $\pi_0$ 是空间二次曲线的支撑平面，它的对偶在对偶空间中表示一个＂点＂$\pi_0$ 。二次曲线上任一点 $X$ 的切平面是以该点的切线为轴的一个平面束（但不包括支撑平面 $\pi_0$ ）。 令 $\pi_1$ 是这个面束中的一个成员，则这个平面束的参数方程为： $\pi=\pi_0+s \pi_1$ 。在对偶空间中，它表示经过＂点＂$\pi_0$ 的一条直线 $L (s)=\pi_0+s \pi_1$ 。当点 $X$ 绕二次曲线运动时， $L$ 在对偶空间中的轨迹将是将形成一个锥面。也就是说，我们可以证明下述命题：

命题 1．2．6：空间二次曲线的对偶曲面是一个锥面，二次曲线的支撑平面的对偶是这个锥面的顶点，二次曲线上的一个点在对偶空间中被扩展为锥面的一条母线，二次曲线的切线与锥面的母线构成一一对应关系。

对偶二次曲面的变换规则 在（点）变换 $X ^{\prime}=H X$ 下，应用平面的变换规则 $\pi^{\prime}=H^{-T} \pi$ ，立即得到对偶二次曲面 $Q^*$ 的变换规则：

$$
Q^{* \prime}=H Q^* H^T
$$

注意：由于锥面的对偶曲面 $Q^*$ 是一条空间二次曲线，它不能由一个矩阵来表示，所以它的变换规则不能统一在上述公式中，但它的变换规则可以由对偶锥面的变换规则和平面的变换规则来联合表达：

$$
\left\{\begin{array} { c } 
{ \pi ^ { T } Q ^ { + } \pi = 0 } \\
{ V ^ { T } \pi = 0 }
\end{array} \rightarrow \left\{\begin{array}{c}
\pi^{\prime T} H Q^{+} H^T \pi^{\prime}=0 \\
V^T H^T \pi^{\prime}=0
\end{array}\right.\right.
$$

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