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绝对二次曲线与绝对二次曲面

绝对二次曲线（AC，Absolute Conic）绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 是 $\pi_{\infty}$ 上的一条（点）二次曲线。在欧氏坐标系下 $\pi_{\infty}=(0,0,0,1)^T$ ，在 $\Omega_{\infty}$ 上的点 $X =\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)^T$ 是下述方程的解集：

$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1^2+x_2^2+x_3^2=0 \\
x_4^2=0
\end{array}\right.
$$

它是 $\pi_{\infty}$ 上的一条虚二次曲线。尽管 $\Omega_{\infty}$ 没有实点，但它具有二次曲线的共同性质，例如：直线交二次曲线于两点；极对应关系等。下面给出 $\Omega_{\infty}$ 的基本性质：
－任意一个圆与绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 相交于两个点，这两个点是圆所在平面内的两个圆环点。可以证明绝对二次曲线是所有平面上的圆环点所构成的集合；
－任意一个球与无穷远平面 $\pi_{\infty}$ 相交于绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 。
绝对二次曲面（AQ，Absolute Quadric）绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 的对偶是三维空间中的退化对偶二次曲面，并称它为绝对二次曲面并记为 $Q_{\infty}^*$ 。几何上，$Q_{\infty}^*$ 是所有与 $\Omega_{\infty}$ 相切的平面所构成的集合。在代数上 $Q_{\infty}^*$ 由秩为 3 的 $4 \times 4$ 的齐次矩阵来表示，在欧氏坐标系下它可表示为

$$
Q_{\infty}^*=\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
0^T & 0
\end{array}\right)
$$

在代数上，平面 $\pi$ 在包络 $Q_{\infty}^*$ 上的充要条件是 $\pi^T Q_{\infty}^* \pi=0$ 。令平面的坐标为 $\pi=\left(v^{ T }, k\right)^T$ ，给定 $Q_{\infty}^*$ 形式（1．2．23）后，$\pi^T Q_{\infty}^* \pi=0$ 等价于 $v ^T v=0$ 。而 $v$ 表示平面 $\pi=\left(v^T, k\right)^T$ 与无穷远平面的交线，该直线与绝对二次曲线相切的充要条件是 $\nu^T I v=0$ 。因此，$Q_{\infty}^*$ 的包络正好由这些与绝对二次曲线相切的平面所组成。由式（1．2．23）可直接验证无穷远平面是 $Q_{\infty}^*$ 的右零空间，即 $Q_{\infty}^* \pi_{\infty}=0$ 。

绝对二次曲面在射影坐标系下有 8 个自由度，因为它是退化的对偶二次曲面。这 8 个自由度也是从射影坐标系下确定度量性质所需要确定的自由度。
绝对二次曲线和绝对二次曲面之间的关系与前面讨论的一般退化情况完全相同，只是绝对二次曲线位于一个特殊的平面（无穷远平面）而已。由于无穷远平面的特殊性，所以绝对二次曲线和绝对二次曲面也有很多特殊性质。在三维计算机视觉中，尤其在摄像机自标定与三维重构理论中，绝对二次曲线和绝对二次曲面处于十分重要的地位。为了深入理解它们在欧氏坐标下的表示，下面从另一个角度来考虑它们。

首先，将绝对二次曲线视为球面的极限。令 $Q_r$ 是中心在原点半径为 $r$ 的球面，则它的矩阵表示为

$$
Q_r=\operatorname{diag}\left(1,1,1,-r^2\right)
$$

即球面 $Q_r$ 上的点 $X=(x, y, z, w)^T$ 满足方程：

$$
\left(\frac{x}{r}\right)^2+\left(\frac{y}{r}\right)^2+\left(\frac{z}{r}\right)^2=w^2
$$

当 $r$ 逐渐增大时，球面 $Q_r$ 上的点就逐渐接近于无穷远平面。记 $Q_{\infty}$ 是球面 $Q_r$ 在 $r \rightarrow \infty$ 时的极限。当 $r \rightarrow \infty$ 时，对任意 $x, y, z$ ，有 $\frac{x}{r} \rightarrow 0, \frac{y}{r} \rightarrow 0, \frac{z}{r} \rightarrow 0$ 。由上式，必有 $w \rightarrow 0$ ，因此，$Q_{\infty}$ 上的点 $X=(x, y, z, w)^T$ 必是无穷远点，且满足方程：

$$
\left\{\begin{array}{c}
x^2+y^2+z^2=0 \\
w=0
\end{array}\right.
$$

这正是绝对二次曲线在欧氏坐标系下的方程，所以可以将绝对二次曲线作为球面 $Q_r$ 在 $r \rightarrow \infty$时的极限。

下面考虑对偶二次曲面 $Q_{\infty}^*$ 。由于绝对二次曲面 $Q_{\infty}^*$ 是绝对二次曲线的对偶，所以从上面的讨论可以将它可以看作为球面 $Q_r$ 对偶 $Q_r^*$ 的极限。由于 $Q_r$ 的对偶可以表示成

$$
Q_r^*=\operatorname{diag}\left(1,1,1,-1 / r^2\right)
$$

当 $r \rightarrow \infty$ 时，必有

$$
Q_r^*=\operatorname{diag}\left(1,1,1,-1 / r^2\right) \rightarrow \operatorname{diag}(1,1,1,0)=Q_{\infty}^*
$$

这样，就得到了绝对二次曲面在欧氏坐标系下表示式（1．2．23）。从这里也可以看出，我们为什么将绝对二次曲面记成 $Q_{\infty}^*$ 而不是按习惯那样记成 $\Omega_{\infty}^*$

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