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射影几何
绝对二次曲线与绝对二次曲面
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2025-01-23 09:14
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绝对二次曲线与绝对二次曲面
绝对二次曲线(AC,Absolute Conic)绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 是 $\pi_{\infty}$ 上的一条(点)二次曲线。在欧氏坐标系下 $\pi_{\infty}=(0,0,0,1)^T$ ,在 $\Omega_{\infty}$ 上的点 $X =\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)^T$ 是下述方程的解集: $$ \left\{\begin{array}{c} x_1^2+x_2^2+x_3^2=0 \\ x_4^2=0 \end{array}\right. $$ 它是 $\pi_{\infty}$ 上的一条虚二次曲线。尽管 $\Omega_{\infty}$ 没有实点,但它具有二次曲线的共同性质,例如:直线交二次曲线于两点;极对应关系等。下面给出 $\Omega_{\infty}$ 的基本性质: -任意一个圆与绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 相交于两个点,这两个点是圆所在平面内的两个圆环点。可以证明绝对二次曲线是所有平面上的圆环点所构成的集合; -任意一个球与无穷远平面 $\pi_{\infty}$ 相交于绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 。 绝对二次曲面(AQ,Absolute Quadric)绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 的对偶是三维空间中的退化对偶二次曲面,并称它为绝对二次曲面并记为 $Q_{\infty}^*$ 。几何上,$Q_{\infty}^*$ 是所有与 $\Omega_{\infty}$ 相切的平面所构成的集合。在代数上 $Q_{\infty}^*$ 由秩为 3 的 $4 \times 4$ 的齐次矩阵来表示,在欧氏坐标系下它可表示为 $$ Q_{\infty}^*=\left(\b
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