最后更新: 2025-01-23 09:14 查看: 42 次纠错评论(0) 课件开VIP

绝对二次曲线与绝对二次曲面的度量性质

绝对二次曲线与绝对二次曲面的度量性质 在一般的三维射影空间中，通过绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 可以度量两条直线间的夹角，而通过绝对二次曲面可以度量二个平面的夹角。确切地说，我们有下述命题。

命题 1．2．7 三维射影空间中，令 $d _1$ 和 $d _2$ 是两条直线与二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 所在平面 $\pi_{\infty}$ 的交点，它表示这两条直线在射影空间中的方向，绝对二次曲线在平面 $\pi_{\infty}$ 上的矩阵表示仍记为 $\Omega_{\infty}$ 。则两条直线交角可以通过下述公式来计算：

$$
\cos \theta=\frac{\left( d _1^T \Omega_{\infty} d _2\right)}{\sqrt{\left( d _1^T \Omega_{\infty} d _1\right)\left( d _2^T \Omega_{\infty} d _2\right)}}
$$

证明：先验证欧氏空间的情形：由于在欧氏空间中 $\Omega_{\infty}$ 在无穷远平面上的矩阵表示为 $\Omega_{ \infty }=I$ ，两条直线与无穷远平面的交点 $D _1=\left( d _1^T, 0\right)^T, D _2=\left( d _2^T, 0\right)^T$ 在无穷远平面上的表示必为 $d _1$ 和 $d _2$ ，它们是两条直线的欧氏方向。由欧氏几何，立即得到两直线的交角公式：

$$
\cos \theta=\frac{\left( d _1^T d _2\right)}{\sqrt{\left( d _1^T d _1\right)\left( d _2^T d _2\right)}}=\frac{\left( d _1^T \Omega_{\infty} d _2\right)}{\sqrt{\left( d _1^T \Omega_{\infty} d _1\right)\left( d _2^T \Omega_{\infty} d _2\right)}}
$$

因此，公式（1．2．24）成立。下面证明一般情况：
由于通过一个射影变换 $H$ 可以将欧氏空间变换到一般的射影空间，并且射影变换将平面映射为平面。记无穷平面 $\pi_{\infty}$ 被映射到平面 $\pi_{\infty}^{\prime}$ ，则射影变换 $H$ 必诱导出从平面 $\pi_{\infty}$ 到平面 $\pi_{\infty}^{\prime}$上的一个二维射影变换 $\widetilde{H}_{3 \times 3}$ 。于是，根据二次曲线的变换规则，绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 在平面 $\pi_{\infty}^{\prime}$上的矩阵表示必为 $\Omega_{\infty}^{\prime}=\tilde{H}_{3 \times 3}^{-T} I \tilde{H}_{3 \times 3}^{-1}$ ，且两直线的方向 $d _1, d _2$ 被变换到射影方向： $d _1^{\prime}=\widetilde{H}_{3 \times 3} d _1, d _2^{\prime}=\widetilde{H}_{3 \times 3} d _2$ 。因此，我们有

$$
\cos \theta=\frac{\left( d _1^T d _2\right)}{\sqrt{\left( d _1^T d _1\right)\left( d _2^T d _2\right)}}
$$

$$
=\frac{ d _1^T \widetilde{H}_{3 \times 3}^{-T} H_{3 \times 3}^{-1} d _2^{\prime}}{\sqrt{ d _1^{\prime T} \widetilde{H}_{3 \times 3}^{-T} H_{3 \times 3}^{-1} d _1^{\prime}} \sqrt{ d _2^{\prime T} \widetilde{H}_{3 \times 3}^{-T} H_{3 \times 3}^{-1} d _2^{\prime}}}=\frac{\left( d _1^T \Omega_{\infty}^{\prime} d _2^{\prime}\right)}{\sqrt{\left( d _1^{\prime T} \Omega_{\infty}^{\prime} d _1^{\prime}\right)\left( d _2^{\prime T} \Omega_{\infty}^{\prime} d _2^{\prime}\right)}}
$$

即公式（1．2．4））成立。证毕。
命题1．2．8 在三维射影空间中，若绝对二次曲面的矩阵表示为 $Q_{\infty}^*$ ，两平面 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 之间的夹角由下式给出：

$$
\cos \theta=\frac{\pi_1^T Q_{\infty}^* \pi_2}{\sqrt{\left(\pi_1^T Q_{\infty}^* \pi_1\right)\left(\pi_2^T Q_{\infty}^* \pi_2\right)}}
$$

特别地，在欧氏空间中，若两平面的欧氏坐标 $\pi_1=\left( n _1^T, d _1\right)^T, \pi_2=\left( n _2^T, d _2\right)^T$ ，则两平面的夹角计算公式简化为：

$$
\cos \theta=\frac{ n _1^T n _2}{\sqrt{\left( n _1^T n _1\right)\left( n _2^T n _2\right)}}
$$

证明是容易的，欧氏空间的夹角公式直接由欧氏几何得到，对于一般射影空间可由射影变换关于对偶二次曲面的变换规则和平面的变换规则得到。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：绝对二次曲线与绝对二次曲面

下一篇：三次扭线

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)