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三维射影变换群的子群

仿射变换群
三维仿射变换是

$$
X ^{\prime}=H_a X =\left(\begin{array}{ll}
A & t \\
0 & 1
\end{array}\right) X
$$

其中 $A$ 是一个 3 阶可逆矩阵。三维仿射变换有 12 个自由度。
仿射不变量 关于仿射不变量，有下述结论：
－保持无穷远平面不变，即将无穷远点变换到无穷远点；
－保持直线，平面之间的平行性；
－保持体积比，面积比，长度比不变；
下述命题 1.2 ．9 表明保持无穷远平面不变性质是仿射变换的基本特征。
命题1．2．9射影变换 $H$ 保持无穷远平面不变的充要条件是 $H$ 为仿射变换。
相似变换群
相似变换由下述变换所定义

$$
X ^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}
s U & t \\
0^T & 1
\end{array}\right) X
$$

其中，$U$ 是三维正交矩阵，$s$ 是相似比例因子。所有三维相似变换构成一个群，通常称为相似变换群，它是三维仿射群的子群。如果限制 $U$ 是一个三维旋转矩阵，则上述变换称为旋转相似变换。旋转相似变换的全体构成相似变换群的子群。

相似不变量 相似变换除了仿射不变量作为它的不变量之外，最本质的不变量是绝对二次曲线与绝对二次曲面。
命题 1．2．10 射影变换 $H$ 保持绝对二次曲线不变的充要条件是 $H$ 为相似变换＂。
证明 相似变换必为仿射变换，所以 $H$ 可以写成下述形式：

$$
H=\left(\begin{array}{ll}
A & t \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$

由于仿射变换将无穷远点变为无穷远点，因此 $H$ 限制在无穷远平面上的二维变换是 $A$ 。而绝对二次曲线 $\Omega_{\infty}$ 是无穷远平面上的二次曲线，在无穷远平面上它的矩阵表示是一个 3 阶单位矩阵 $I$ ，因此 $H$ 将 $\Omega_{\infty}$ 变为 $\Omega_{\infty}$ 的充要条件是 $A^{-T} I A^{-1}=s I$ ，而 $A^{-T} I A^{-1}=s I$ 等价于 $s A^T A=I$ ， $s A^T A=I$ 等价于 $A$ 是一个与正交矩阵相差常数倍的矩阵。所以，射影变换 $H$ 保持绝对二次曲线不变的充要条件是 $H$ 为相似变换。证毕。

根据对偶原理，由命题 1.2 .10 得到下述命题：
命题 1．2．11 射影变换 $H$ 保持绝对二次曲面 $Q_{\infty}^*$ 不变的充要条件是 $H$ 为相似变换。
下面是命题 1．2．11 一种直接证明：因为 $Q_{\infty}^*$ 是一对偶二次曲面，它的变换规则为 $(1.2 .21)$ 。因此，它在变换 $H$ 下不变的充要条件是 $Q_{\infty}^*=H Q_{\infty}^* H^T$ 。令 $H=\left(\begin{array}{cc}A & t \\ v^T & k\end{array}\right)$ ，下述齐次等式：

$$
\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
0^T & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A & t \\
v ^T & k
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
0^T & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
A^T & v \\
t ^T & k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A A^T & A v \\
v ^T A^T & v^T v
\end{array}\right)
$$

成立的充要条件是 $v =0$ 且 $A$ 与正交矩阵相差一个非零常数倍，从而 $H$ 是一个相似变换。
等距变换群
等距变换由下述变换所定义：

$$
X ^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}
U & t \\
0^T & 1
\end{array}\right) X
$$

其中 $U$ 是三维正交矩阵。所有三维等距变换构成一个群，通常称为等距变换群，它是三维射影群的子群。如果限制 $U$ 是一个三维旋转矩阵，则上述变换称为欧氏变换。欧氏变换的全体构成等距变换群的子群。等距变换群的重要不变量是保持物体形状和体积不变。

等距变换是特殊的相似变换，它具有相似变换的一切特性，如保持绝对二次曲线不变。下面给出关于欧氏变换的不动点性质。

一个射影变换的不动点是指在这个变换下保持不动的空间点。在代数上，一个空间点 $X$ 是射影变换 $H$ 的不动点的充要条件是 $X$ 为 $H$ 的特征向量，即 $H X = X$（注意：这是一个齐次等式，齐次因子是与特征向量 $X$ 对应的特征值）。
命题 1．2．12
（1）设 $E$ 是一个欧氏变换，则正交于旋转轴的平面上的两个圆环点是 $E$ 的两个不动点，它们是 $E$ 的共轭复特征值的特征向量；旋转轴与无穷远平面的交点是 $E$ 的另一个不动点，它是 $E$的特征值 1 的特征向量。如果 $E$ 为一般欧氏运动，$E$ 仅有上述三个不动点。
（2）如果平移向量在与旋转轴正交的平面上（通常称为平面运动），则 $E$ 还存在另外一个不动点，它是 $E$ 的特征值 1 的另一个特征向量。

证明 令欧氏变换为

$$
E=\left(\begin{array}{cc}
R & t \\
\theta ^T & 1
\end{array}\right)
$$

考虑欧氏变换 $E$ 的特征向量。由于 $\operatorname{det}\left(s I_{4 \times 4}-E\right)=(s-1) \operatorname{det}\left(s I_{3 \times 3}-R\right)$ ，所以 $E$ 的特征值必为 $\left\{e^{i \theta}, e^{-i \theta}, 1,1\right\}$ ，其中 $\theta$ 是 $R$ 的旋转角。显然，$E$ 有如下三个线性无关的特征向量：

$$
E _1=\left( i _R, 0\right)^T, E _2=\left(\overline{ i }_R, 0\right)^T, E _3=\left( a _R^T, 0\right)^T
$$

其中： $i _R, \overline{ i }_R$ 是 $R$ 的共轭复特征值的特征向量，所以 $E _1, E _2$ 在与旋转轴正交平面 $\pi_E$ 上，并且 $\pi_E$ 是 $R$ 的不变子空间（由 $R$ 特征向量 $i _R, \overline{ i }_R$ 张成的二维子空间），因此 $E _1, E _2$ 是平面 $\pi_E$ 上的两个无穷远点。由于 $E$ 在 $\pi_E$ 上的限制 $E_{\pi_E}$ 是一个二维欧氏变换，由命题 1．1．10，平面 $\pi_E$ 上的两

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