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射影坐标系与射影坐标变换

在前面各节中，我们所使用的坐标系都是欧氏坐标系。本节将讨论一般射影坐标系以及射影坐标系之间的变换（射影坐标变换）。

射影坐标系
这里不打算用纯几何的方法来建立射影坐标系，而是从给定的欧氏齐次坐标系 $\sigma$ 来建立一般射影坐标系。

设 $A , B , C , D$ 是空间中的 4 个不共面的点，它们在欧氏坐标系 $\sigma$ 下的齐次坐标分别为 $X _1^e, X _2^e, X _3^e, X _4^e$ ，则对于空间任一点 P 的欧氏齐次坐标均可以表示成

$$
X ^e=u_1 X _1^e+u_2 X _2^e+u_3 X _3^e+u_4 X _4^e
$$

其中 $u_j$ 不全为零。这样，任一点 P 有一个分量不全为零的 4 维有序数组 $\left\{u_j\right\}$ 与之对应。但是，$\left\{u_j\right\}$ 还不能作为 P 点的新齐次坐标，因为 $u_j$ 的比值 $u_1: u_2: u_3: u_4$ 不能唯一确定，例如对欧氏齐次坐标 $X _j^e$ 选择不同的齐次因子 $s_j$ ，则 $u_j$ 将变成 $u_j / s_j$ ，且

$$
u_1: u_2: u_3: u_4 \neq\left(u_1 / s_1\right):\left(u_2 / s_2\right):\left(u_3 / s_3\right):\left(u_4 / s_4\right)
$$

为了确定比值，必须再加约束条件。设空间中的第五个点 E ，它在欧氏坐标系 $\sigma$ 下的齐次坐标记为 $X _5^e$ ，并且它与原来 4 点中的任何 3 个点都不共面，因此存在 4 个都不全为零的数 $v_1, v_2, v_3, v_4$ ，使得

$$
X _5^e=v_1 X _1^e+v_2 X _2^e+v_3 X _3^e+v_4 X _4^e
$$

令 $\hat{ X }_j^e=v_j X _j^e$ ，则式（1．2．31）可以写成

$$
X ^e=x_1 \hat{X}_1^e+x_2 \hat{ X }_2^e+x_3 \hat{ X }_3^e+x_4 \hat{ X }_4^e,\left(x_j=u_j / v_j\right)
$$

这样对于 $\left\{x_j\right\}$ 中的 4 个元素就有确定的比值，即不依赖于 $X _j^e(j=1,2,3,4)$ 的齐次因子 $s_j$ 的选择。因为对任意的 $\left\{s_j\right\}$ ，总有

$$
\begin{aligned}
x_1: x_2: x_3: x_4 & =\left(u_1 / v_1\right):\left(u_2 / v_2\right):\left(u_3 / v_3\right):\left(u_4 / v_4\right) \\
& =\left(u_1 s_1 / v_1 s_1\right):\left(u_2 s_2 / v_2 s_2\right):\left(u_3 s_3 / v_3 s_3\right):\left(u_4 s_4 / v_4 s_4\right)
\end{aligned}
$$

于是，对于每一个空间点 P 都有一个新的齐次坐标 $\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)^T$ 。特别地， $A , B , C , D , ~ E$的新齐次坐标分别为

$$
X _1^p=(1,0,0,0)^T, X _2^p=(0,1,0,0)^T, X _3^p=(0,0,1,0)^T, X _4^p=(0,0,0,1)^T, \quad X _5^p=(1,1,1,1)^T
$$

这样建立起来的坐标系称为射影坐标系，并称 A、B、C、D 所构成的 4 面形为射影坐标系的 4
面形，E 称为单位点，A、B、C、D、E 称为射影坐标系的基点(如图 1.2.4 所示)。
 ![图片](/uploads/2025-01/75a253.jpg)
 
 不难看出以欧氏坐标（或仿射坐标）为基础的齐次坐标系是一种特殊的射影坐标系，其坐标 4 面形的顶点是三个坐标轴的无穷远点和坐标原点，而单位点是非齐次坐标为 $(1,1,1)^T$ 的空间点。

值得说明的是以下几点：
－在以一般射影坐标系为基础的三维射影空间中，无穷远点，无穷远直线与无穷远平面在以欧氏坐标系（或仿射坐标系）为基础的代数形式都消失了，即不再有表示它们的那种（欧氏坐标系中的）特殊代数形式，所有的几何元素的地位都是同等的。
－可以在一般射影坐标系下讨论平面的齐次坐标，二次曲面，射影变换等等。
－在以一般射影坐标系为基础的三维射影空间中的射影变换不再有层次之分，如相似变换，仿射变换，欧氏变换等等，例如形如 $H=\left(\begin{array}{ll}A & t \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 的变换不再具有仿射的意义了。因此，上节对射影变换的分层以及特殊变换的特征，都只是在以欧氏坐标系（或仿射坐标系）为基础的射影空间中才成立，正如我们不能在仿射坐标系下讨论欧氏变换一样。

射影坐标变换
同一个空间点在两个不同射影坐标系中的射影坐标之间的变换，是非常容易获得到。令 $\sigma_X, \sigma_Y$ 是两个一般射影坐标系，$\sigma_e$ 是以欧氏坐标为基础的特殊射影坐标系，点 P 在这三个坐标系下的坐标分别为 $X , Y , X ^e$ ，由式（1．2．30）$\sigma_X \rightarrow \sigma_e, \sigma_Y \rightarrow \sigma_e$ 的射影坐标变换分别为

$$
\begin{gathered}
X ^e=x_1 \hat{ X }_1^e+x_2 \hat{ X }_2^e+x_3 \hat{ X }_3^e+x_4 \hat{ X }_4^e=\left(\hat{ X }_1^e, \hat{ X }_2^e, \hat{ X }_3^e, \hat{ X }_4^e\right) X \\
X ^e=y_1 \hat{ Y }_1^e+y_2 \hat{ Y }_2^e+y_3 \hat{ Y }_3^e+y_4 \hat{ Y }_4^e=\left(\hat{ Y }_1^e, \hat{ Y }_2^e, \hat{ Y }_3^e, \hat{ Y }_4^e\right) Y
\end{gathered}
$$

因此 $Y =\left(\hat{ Y }_1^e, \hat{ Y }_2^e, \hat{ Y }_3^e, \hat{ Y }_4^e\right)^{-1}\left(\hat{ X }_1^e, \hat{ X }_2^e, \hat{ X }_3^e, \hat{ X }_4^e\right) X$ ，这样就证明了 $\sigma_X \rightarrow \sigma_Y$ 的射影坐标变换是一个可逆的齐次线性变换。给定空间 5 个点，其中任意 4 个点不共面，如果已知它们在 $\sigma_X, \sigma_Y$ 的坐标为 $X _j, Y _j$ ，则由命题 1．2．1 就可以唯一确定这个可逆的齐次线性变换。

可以看出射影坐标变换也具有射影变换的形式。射影坐标变换具有射影变换的形式，不是
偶然的，因为可以给射影变换以两种解释。第一种解释：射影变换是同一个坐标系中空间点之
间的变换，坐标系没有发生变化，图形发生变化，不但位置发生了变化，连整个图形的形状也
发生了变化。即变换前、后的图形在同一个坐标系下的代数形式发生了变化。另一解释：射影
变换是不同坐标系之间的变换，图形不发生变化，而是坐标系发生变化，这种变化使得同一个
图形具有不同的代数形式。为区别前一种解释，后一种解释的射影变换通常称为射影坐标变
换。这两种对射影变换的解释没有本质上的差异，只是观察的角度不同而已。前一种是立足于
坐标系观察变换(运动)，后一种是立足于变换(运动)观察坐标系。

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