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数学分析
第一篇 集合论
上界与下界
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2025-03-14 08:33
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上界与下界
上界;下界;上有界集;无界集;下有界集;有界集
## 上界与下界 > **定义** 若$\forall x \in A: x \leqslant M$ 称数 $M$ 是非空数集 $A$ 的一个**上界**。 若$\forall x \in A: x \geqslant m $ 称数 $m$ 是非空数集 $A$ 的一个**下界**。 例如，对数集 $A=[0,1)$ 来说，数 1 是 $A$ 的一个上界．当然由此可见比 1 大的每一个数都是 $A$ 的上界．又可以看出，数 0 是 $A$ 的一个下界，同时每个负数也都是 $A$ 的下界． **这对于一般的非空数集也是正确的．一个非空数集若有一个上界就必有无限多个上界，若有一个下界就必有无限多个下界。** > **定义** 有上界的非空数集称为**上有界集**，有下界的非空数集称为**下有界集**，同时有上界和下界的非空数集称为**有界集**．不是有界集的非空数集称为**无界集**． 由这个定义可知，无界集或者没有上界，或者没有下界，二者至少居其一。例如， $N , Z , Q , R$ 都是无界集，其中 $N$ 有下界而无上界，其余几个既无上界又无下界。 下面是这方面的一个基本事实． > **定理** 非空数集 $A$ 有界 $\Longleftrightarrow \exists K>0, \fora
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