最后更新: 2025-03-14 08:37 查看: 445 次纠错评论(0) 课件开VIP

上（下）确界与确界存在定理

## 上（下）确界与确界存在定理
确界是一个全新的概念，它在今后的数学分析中将经常使用．

回顾前面的最大数和最小数，上界和下界，可以说它们都是对于一个给定的非空数集的刻画，但也都有不足之处．我们已经知道，对一个非空数集来说，上界或下界存在时一定不惟一，最大数或最小数一定惟一，但不一定存在。

下面我们会看到，这一小节引入的确界概念克服了二者的不足，从而为数集的刻画提供了更为准确和有力的工具．

> **定义1.5 （确界的第一定义）** 称非空数集 $A$ 的最小上界为上确界，记为 $\sup A$ ；称非空数集 $A$ 的最大下界为下确界，记为 $\inf A $ 。

上（下）确界的数学符号来自于 supremum 和 infimum 的缩写．它们都是拉丁文中的词，原意是＂上端＂和＂下端＂，已收入 《英汉数学词汇》和英语大词典中．

先看数集 $A=[0,1)$ ．它很平凡，但却可以告诉我们很多东西。
已知 $A$ 没有最大数，但有上界．可以看出 1 就是 $A$ 的最小上界，因此 $\sup A=1$ ．又可以看出， $\inf A=0$ ，同时也有 $\min A=0$ 。

如前所说，如果一个数集有上界，则一定有无限多个上界。这些上界的全体构成一个非空数集。对 $A=[0,1)$ 而言，它的上界全体就是区间 $[1,+\infty)$ ，而 $A$ 的上确界就是这个数集的最小数 1 。

一般来说，由于上确界是上界集合的最小数，因此如果存在，必定惟一。对于下确界也有同样的结论。可见确界与上界，下界不一样，若存在必定惟一。

从 $A=[0,1)$ 的讨论又可以看出，若一个数集 $A$ 有最小数，则就有 $\inf A=$ $\min A$ 。同样可见，若一个数集 $A$ 有最大数，则就有 $\sup A=\max A$ 。

关于确界的第一个重要问题是它的存在性。具体来说，若一个非空数集没有最大数时，是否存在上确界？同样，若一个非空数集没有最小数时，是否存在下确界？

对于无上界的数集来说，答案是清楚的。一个数集既然没有上界，则谈不上会有什么最小的上界。例如区间 $(a,+\infty)$ 就是如此，它没有最大数，也没有上确界．同样，无下界的数集既没有最小数，也没有下确界。

余下的问题就是有上界的数集在无最大数时是否有上确界？同样，有下界的数集在无最小数时是否有下确界？

这个问题由下面的重要定理得到完全的解决．注意：这个定理是今后要陆续介绍的几个实数系基本定理之一，它们是数学分析中的基本工具．

**定理（确界存在定理）** 在实数集 $R$ 中的非空数集，若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界．

证 只对于定理的前一半给出证明。
设非空数集 $A$ 有上界．将 $A$ 的上界全体记为 $B$ ．若 $A$ 与 $B$ 有非空交，则存在数 $c \in A \cap B$ ．这时 $c \in B$ 是 $A$ 的上界，但由于 $c \in A$ ，比 $c$ 小的数不可能是 $A$ 的上界，因此 $c$ 就是 $B$ 的最小数，即 $A$ 的上确界．同时 $c$ 是 $A$ 的最大数．

现在设 $A$ 与 $B$ 没有非空交．则 $\forall x \in A, \forall y \in B: x<y$ ．用 $\S 1.2$ 中的实数系的连续性原理，存在实数 $c$ ，使得 $\forall x \in A$ ，成立 $x \leqslant c$ ．同时 $\forall y \in B$ ，成立 $c \leqslant y$ ．由此可见，$c$ 是 $A$ 的一个上界，即 $c \in B$ ．同时又知道 $c$ 是 $B$ 中的最小数，即 $A$ 的上确界。
注 对于定理的后一半，即非空数集 $A$ 有下界必有下确界，有两个证法．
第一个证法是定义一个新的数集 $A_1=\{x \mid-x \in A\}$ ，于是 $A_1$ 有上界，因此有上确界。然后证明这个上确界乘以 -1 就是 $A$ 的下确界。第二个证法是利用证明存在上确界的方法来证明存在下确界，其中当然要利用实数系的连续性原理。两个方法都应当学会。

### 小结

于是确界的存在性和惟一性问题都有了满意的答案．其中存在性问题由确界存在定理解决，惟一性则由确界的定义而保证成立。于是确界概念就克服了最大数，最小数与上界，下界的缺点，而为刻画数集提供了更为有力的工具．当然如何运用确界概念还要在今后通过许多实例才能学会。

为了运用确界概念我们还需要确界的另一个定义，它往往更便于具体操作．

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