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海涅-波莱尔 Heine－Borel 有限覆盖定理

## 2.6  海涅-波莱尔 Heine－Borel 有限覆盖定理
这是本书的第 6 个，也是最后一个实数系基本定理．
在所有这些基本定理中有限覆盖定理是出现最晚的一个，且表面上似乎与数列无关，但实际上有限覆盖定理非常有用，特别是在今后从函数的局部性质推出整体性质时，有限覆盖定理是将无限归化为有限的捷径。

首先需要引入覆盖与有限子覆盖的概念。
定义2．17 设 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 是开区间的集合，即每个 $O _\alpha$ 是一个开区间，下标 $\alpha$ 的全体可以是有限集，也可以是无限集．若 $\bigcup_\alpha O _\alpha \supset I$ ，则称 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 覆盖 $I$ ，也称 $\left\{ O _\alpha\right\}$为 $I$ 的开覆盖．又若在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中存在有限个子集覆盖 $I$ ，则称 $I$ 在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中存在有限子覆盖。

现在介绍 Heine   Borel   有限覆盖定理。

## 有限覆盖定理
定理 2.29 （Heine－Borel 有限覆盖定理）若集合 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 是有界闭区间 $[a, b]$的一个开覆盖，则在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中存在 $[a, b]$ 的有限子覆盖．

证 1 （用闭区间套定理）用反证法．设 $[a, b]$ 在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中不存在有限子覆盖．记 $a_1=a, b_1=b$ ，则用中点 $\frac{a_1+b_1}{2}$ 将 $\left[a_1, b_1\right]$ 分成的两个闭区间 $\left[a_1, \frac{a_1+b_1}{2}\right]$ 和 $\left[\frac{a_1+b_1}{2}, b_1\right]$ 中至少有一个在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中也不存在有限子覆盖．将它记为 $\left[a_2, b_2\right]$ ．继续这样做下去，就得到闭区间套 $\left\{\left[a_n, b_n\right]\right\}$ ．

这个闭区间套的特点是：其中每一个在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中都不存在有限子覆盖，同时闭区间的长度趋于 0 ．因此存在惟一的点 $\xi \in\left[a_n, b_n\right] \forall n$ ．

由于 $\xi \in\left[a_1, b_1\right]=[a, b]$ ，因此在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中一定有覆盖 $\xi$ 的某一个开区间，记为 $O _{\alpha_0}$ ．从 $a_n \uparrow \xi, b_n \downarrow \xi$ ，而 $O _{\alpha_0}$ 是开区间，因此存在 $N, \forall

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