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海涅-波莱尔 Heine－Borel 有限覆盖定理

## 2.6  海涅-波莱尔 Heine－Borel 有限覆盖定理
这是本书的第 6 个，也是最后一个实数系基本定理．
在所有这些基本定理中有限覆盖定理是出现最晚的一个，且表面上似乎与数列无关，但实际上有限覆盖定理非常有用，特别是在今后从函数的局部性质推出整体性质时，有限覆盖定理是将无限归化为有限的捷径。

首先需要引入覆盖与有限子覆盖的概念。
定义2．17 设 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 是开区间的集合，即每个 $O _\alpha$ 是一个开区间，下标 $\alpha$ 的全体可以是有限集，也可以是无限集．若 $\bigcup_\alpha O _\alpha \supset I$ ，则称 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 覆盖 $I$ ，也称 $\left\{ O _\alpha\right\}$为 $I$ 的开覆盖．又若在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中存在有限个子集覆盖 $I$ ，则称 $I$ 在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中存在有限子覆盖。

现在介绍 Heine   Borel   有限覆盖定理。

## 有限覆盖定理
定理 2.29 （Heine－Borel 有限覆盖定理）若集合 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 是有界闭区间 $[a, b]$的一个开覆盖，则在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中存在 $[a, b]$ 的有限子覆盖．

证 1 （用闭区间套定理）用反证法．设 $[a, b]$ 在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中不存在有限子覆盖．记 $a_1=a, b_1=b$ ，则用中点 $\frac{a_1+b_1}{2}$ 将 $\left[a_1, b_1\right]$ 分成的两个闭区间 $\left[a_1, \frac{a_1+b_1}{2}\right]$ 和 $\left[\frac{a_1+b_1}{2}, b_1\right]$ 中至少有一个在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中也不存在有限子覆盖．将它记为 $\left[a_2, b_2\right]$ ．继续这样做下去，就得到闭区间套 $\left\{\left[a_n, b_n\right]\right\}$ ．

这个闭区间套的特点是：其中每一个在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中都不存在有限子覆盖，同时闭区间的长度趋于 0 ．因此存在惟一的点 $\xi \in\left[a_n, b_n\right] \forall n$ ．

由于 $\xi \in\left[a_1, b_1\right]=[a, b]$ ，因此在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中一定有覆盖 $\xi$ 的某一个开区间，记为 $O _{\alpha_0}$ ．从 $a_n \uparrow \xi, b_n \downarrow \xi$ ，而 $O _{\alpha_0}$ 是开区间，因此存在 $N, \forall n \geqslant N:\left[a_n, b_n\right] \subset O _{\alpha_0}$ 。这与每个 $\left[a_n, b_n\right]$ 在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中不存在有限子覆盖相矛盾．

证 2 （用凝聚定理）用反证法．设 $[a, b]$ 在 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中不存在有限子覆盖．
先对开区间集 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 做预处理．对 $\forall x \in[a, b]$ ，存在某个开区间 $I \in\left\{ O _\alpha\right\}$ ，使得 $x \in I$ 。于是可以在 $I$ 中取到两个有理数 $x^{\prime}, x^{\prime \prime}$ ，使得 $x \in\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right) \subset I$ 。对每个 $x \in[a, b]$ 都这样做，就得到端点为有理数的开区间的集合，它也是 $[a, b]$ 的开覆盖．

由于有理数全体可列，因此以有理数为端点的上述开区间也只有可列个（ $\$ 1.1$练习题11），不妨记为 $I_1, I_2, \cdots, I_n, \cdots$ 。由于 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中的任何有限子集都不能覆盖 $[a, b]$ ，因此在可列个开区间的集合 $\left\{I_n\right\}$ 中的任何有限子集也不能覆盖 $[a, b]$ ．

这时对每个 $n$ ，集合 $[a, b]-\bigcup_{i=1}^n I_i \neq \varnothing$ ．从中取出一个点 $x_n$ ，可见它具有下列性质：

$$
x_n \notin I_1, I_2, \cdots, I_n .
$$

由于这对每个 $n$ 成立，从而可见，每个 $I_n$ 中不可能含有下标 $m>n$ 的点 $x_m$ ．这就是说，每个 $I_n$ 中至多只含有数列 $\left\{x_n\right\}$ 中的有限多项．

对于有界数列 $\left\{x_n\right\}$ 用凝聚定理，得到收玫子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ ，并记其极限为 $\xi \in[a, b]$ ．由于 $[a, b]$ 为 $\left\{I_n\right\}$ 所覆盖，必有某个 $n_0$ 使得 $\xi \in I_{n_0}$ ．由于 $I_{n_0}$ 是开区间，而 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}=\xi$ ，因此存在 $N$ ，当 $k \geqslant N$ 时，就有 $x_{n_k} \in I_{n_0}$ ．这与 $I_{n_0}$ 中至多只含有数列 $\left\{x_n\right\}$ 中的有限多项相矛盾．

注 有限覆盖定理中的集合 $\left\{ O _\alpha\right\}$ 中的每个区间必须是开区间，因此其中的覆盖称为开覆盖，定理也可称为有限开覆盖定理．若将开区间这个条件去掉，则定理不能成立．例如闭区间集合

$$
\left[-1,-\frac{1}{2}\right],\left[-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right], \cdots\left[-\frac{1}{n-1},-\frac{1}{n}\right], \cdots,[0,1]
$$

是区间 $[-1,1]$ 的一个覆盖，但其任何有限子集都不能覆盖 $[-1,1]$ ．
同样在有限覆盖定理中被覆盖的有界闭区间也不能改为其他区间，否则定理也不能成立．例如，开区间集合

$$
\left(\frac{1}{2}, 1\right),\left(\frac{1}{3}, 1\right), \cdots,\left(\frac{1}{n}, 1\right), \cdots
$$

是开区间 $(0,1)$ 的一个开覆盖，但其任何有限子集都不能覆盖 $(0,1)$ ．
作为有限覆盖定理的初次应用，下面对例题 2.38 ，即实数集不可列，给出一个新证明．其他应用留待今后。

实数集 $R$ 不可列的新证明 为此只要证明闭区间 $[0,1]$ 中的所有实数不可列．用反证法．设 $[0,1]$ 为可列集，于是有

$$
[0,1]=\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right\} .
$$

设对所有正整数 $n$ 令 $I_n=\left(x_n-\frac{1}{2^{n+1}}, x_n+\frac{1}{2^{n+1}}\right)$ ，则开区间族 $\left\{I_n\right\}$ 就成为 $[0,1]$ 的一个开覆盖．用有限覆盖定理，在 $\left\{I_n\right\}$ 中存在一个有限子族，它仍然覆盖了 $[0,1]$ ．将这个子族中的开区间 $I_n$ 的最大下标记为 $N$ ，则也有

$$
[0,1] \subset \bigcup_{n=1}^N I_n
$$

计算两边的区间长度，就得到

$$
1 \leqslant \frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^N}<1
$$

引出矛盾．
为了说明用有限覆盖定理可以解决与数列有关的问题，下面用有限覆盖定理证明凝聚定理，即有界数列必有收玫子列．它与上面的证 2 一起证明了这两个定理是等价的。
例题 2.43 用有限覆盖定理证明有界数列必有收玫子列．
证 设 $\left\{x_n\right\}$ 是落在有界闭区间 $[a, b]$ 中的一个数列，用反证法，设该数列没有任何收玫子列。
任取点 $x \in[a, b]$ ，若在它的每一个邻域中存在数列 $\left\{x_n\right\}$ 中的无限多项，则就可以选出一个子列收玫于该点。因此在反证法的假设下，一定存在一个邻域，记为 $O(x)$ ，使得在 $O(x)$ 中至多只包含数列 $\left\{x_n\right\}$ 中的有限多项．对于 $[a, b]$ 中的每一个点都这样做，就得到开区间的一个无限集合 $\{O(x) \mid x \in[a, b]\}$ ，它是 $[a, b]$ 的一个开覆盖。

用有限覆盖定理，存在有限个开区间，不妨记为 $O_1, \cdots, O_N$ ，使得成立

$$
[a, b] \subset \bigcup_{i=1}^N O_i .
$$

由于每个 $O_i, i=1, \cdots, N$ 中至多只含有数列 $\left\{x_n\right\}$ 中的有限多项，从而可见在 $[a, b]$ 中也只含有该数列中有限多项的结论．这与数列落在 $[a, b]$ 中相矛盾．

注 到目前为止，我们已经介绍了 6 个重要的定理，它们是：确界存在定理（定理1．5），单调有界数列收敛定理（定理 2．15），闭区间套定理（定理 2．22），Cauchy 收玫准则（定理 2．23），凝聚定理（定理 2．28）和有限覆盖定理（定理 2．29）。它们都是实数系的基本定理，因为它们刻画了实数的基本性质，而在有理数系中均不成立。此外它们相互都是等价的。这方面的有关内容将在第二册中再作进一步的介绍（可以参考［20］的第三章）．

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