最后更新: 2025-03-16 10:25 查看: 254 次纠错评论(0) 课件开VIP

上极限和下极限的基本性质

## 13.1.2上极限和下极限的基本性质
从定理13．1可见，上极限和下极限为无穷大的情况是简单的．下面我们证明，在上极限和下极限为有限数时，它们可以用过去熟悉的语言来描述，其中包括用 $\varepsilon-N$ 语言的描述，它可以作为上极限和下极限的第二定义。这些都与数列极限的基本定义 2.1 非常相似，这里还可以将下面的附图 13.1 与第二章中的定理 2.3 和图 2.3 作比较．

定理 13.2 设以下的 $\beta$ 和 $\alpha$ 都是有限实数．
（I）$\beta$ 为数列 $\left\{x_n\right\}$ 的上极限的充分必要条件是：对于每一个给定的 $\varepsilon>0$ ，
（1）数列 $\left\{x_n\right\}$ 中至多只有有限多项 $\geqslant \beta+\varepsilon$ ；
（2）数列 $\left\{x_n\right\}$ 中有无限多项落在 $O_{\varepsilon}(\beta)$ 中．
（II）$\alpha$ 为数列 $\left\{x_n\right\}$ 的下极限的充分必要条件是：对于每一个给定的 $\varepsilon>0$ ，
（1）数列 $\left\{x_n\right\}$ 中至多只有有限多项 $\leqslant \alpha-\varepsilon$ ；
（2）数列 $\left\{x_n\right\}$ 中有无限多项落在 $O_{\varepsilon}(\alpha)$ 中．
下面是定理 13.2 的几何表示：
 ![图片](/uploads/2025-02/1b62a4.jpg)
 
 若用 $\varepsilon-N$ 语言写出，则可以将定理 13.2 改写为
（I）$\beta=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n \Longleftrightarrow \begin{cases}(1) & \forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N: x_n<\beta+\varepsilon ; \\ (2) & \forall \varepsilon>0, \forall N^{\prime}, \exists n^{\prime} \geqslant N^{\prime}: \beta-\varepsilon<x_{n^{\prime}}<\beta+\varepsilon .\end{cases}$
（II）$\alpha=\varliminf_{n \rightarrow \infty} x_n \Longleftrightarrow \begin{cases}\text {（1）} & \forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N: \alpha-\varepsilon<x_n ; \\ (2) & \forall \varepsilon>0, \forall N^{\prime}, \exists n^{\prime} \geqslant N^{\prime}: \alpha-\varepsilon<x_{n^{\prime}}<\alpha+\varepsilon .\end{cases}$
定理13．2的证明 只写出关于上极限的证明．
必要性 若有限数 $\beta=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n$ ，则由于 $\beta$ 是极限点，因此对 $\forall \varepsilon>0$ ，数列 $\left\{x_n\right\}$ 必有无限多项在 $O_{\varepsilon}(\beta)$ 中。此外，在该邻域之外的右侧，若还有数列中的无限多项，则其中就会有收玫子列，它的极限点 $\geqslant \beta+\varepsilon>\beta$ ．这与上极限 $\beta$ 为最大极限点矛盾（参看图 13．1（a））．

充分性 对每个 $\varepsilon>0$ 成立条件（2）就保证了 $\beta$ 是数列的一个极限点．若还有比 $\beta$ 大的极限点，记为 $\beta^{\prime}>\beta$ 。则取 $\varepsilon=\left(\beta^{\prime}-\beta\right) / 2$ ，就会在 $O_{\varepsilon}\left(\beta^{\prime}\right) \subset[\beta+\varepsilon,+\infty)$中存在数列中的无限多项，这与条件（1）矛盾。

下面的定理给出了上极限和下极限的表达式，它们在上极限和下极限的计算和讨论中有用。此外，也可将它们作为上极限和下极限的（第三）定义。

定理 13.3 数列 $\left\{x_n\right\}$ 的上极限和下极限有下列表达式：

$$
\begin{aligned}
& \varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty} \sup \left\{x_n, x_{n+1}, \cdots\right\} \\
& \underline{\lim _{n \rightarrow \infty}} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty} \inf \left\{x_n, x_{n+1}, \cdots\right\}
\end{aligned}
$$

其中当 $\left\{x_n\right\}$ 无上界时，（13．1）的右边理解为 $+\infty$ ；当 $\left\{x_n\right\}$ 无下界时，（13．2）的右边理解为 $-\infty$ 。

证 只写出关于上极限的表达式（13．1）的证明．以下记 $\beta=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n$ ，又记 $b_n=\sup \left\{x_n, x_{n+1}, \cdots\right\} \forall n$ ．从其定义可见 $\left\{b_n\right\}$ 单调减少，因此 $b=\lim _{n \rightarrow \infty} b_n$ 一定有意义．
（1）若 $\beta=+\infty$ ，则 $\left\{x_n\right\}$ 无上界，因此每个 $b_n=+\infty$ ．这时（13．1）右边只能约定为 $+\infty$ 。
（2）若 $\beta=-\infty$ ，则 $x_n \rightarrow-\infty$ ，因此 $\forall G>0, \exists N, \forall n \geqslant N: x_n \leqslant-G$ ．于是也有 $b_n \leqslant-G$ ，这表明（13．1）右边的 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n=-\infty$ ．
（3）若 $\beta$ 为有限数，则从定理 13.2 的（I）（1），对于 $\varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N: x_n<$ $\beta+\varepsilon$ ．于是也有 $b_n \leqslant \beta+\varepsilon$ ．令 $n \rightarrow \infty$ 可见 $b \leqslant \beta+\varepsilon$ ．利用 $\varepsilon>0$ 的任意性，可见 $b \leqslant \beta$ ．

若有 $b<\beta$ ，则对于 $\varepsilon=(\beta-b) / 2, \exists N, \forall n \geqslant N: b_n<b+\varepsilon=\beta-\varepsilon$ ．这时从 $b_n=\sup \left\{x_n, x_{n+1}, \cdots\right\}$ 可见也有 $x_n<\beta-\varepsilon$ ．这违反了定理 13.2 的（I）（2），即 $O_{\varepsilon}(\beta)$ 中含数列 $\left\{x_n\right\}$ 中的无限多项．可见只能 $b=\beta$ ．

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